(95) ..............................................................

مسئله ی هفته: ملاقات چاپار های نامه بر

شرقعلی خان و غربعلی خان دو چاپار ورزیده هستند از اهالی شرق آباد و غرب آباد که از صبح که از خواب بلند میشوند تا شب کارشان این است که سوار بر دوچرخه های خود شده و با سرعت های ثابت(ولی متفاوت با یکدیگر) نامه های شهر خود را به شهر دیگر ببرند و تحویل دهند و نامه های جمع شده در شهر دیگر را بر ترک بند دوچرخه خود گذاشته و به شهر خود برگردانند.

 

       

 

یک روز صبح هر دو از شهرهای خود حرکت کردند و پس از مدتی رکاب زدن در فاصله ی (2x)  فرسنگی یکی از شهرها به یکدیگر رسیدند. سلامی به هم کردند و به راه خود ادامه دادند تا به مقصد رسیدند. پس از رساندن نامه ها، در بازگشت باز یکدیگر را ملاقات کردند منتها این بار به فاصله ی (x) فرسنگ از شهر دیگر.

ملاقات سوم این دو چاپار در چه نقطه ای خواهد بود؟

 

راهنمایی - جواب - حل

مسائل گذشتـــــــــــــه

(94) سه مثلث با یک محیط ..........................................................

مسئله ی هفته: سه مثلث با یک محیط

در مثلث ABC ، محل دقیق نقطه ای را معلوم کنید که اگر آنرا به سه راس وصل کنیم محیط های سه مثلث جدید با هم برابر شوند.

                                                                               

 همچنین محل دقیق نقطه ای را پیدا کنید که اگر به سه راس وصل شود مساحت های سه مثلث برابر شوند.

راهنمایی ـ جواب ـ حل

مسائل گذشــــــــــــته

یادداشت: چندی پیش یکی از دانش آموزانم از من سوال کرد که آیا میتوان در داخل یک مثلث نقطه ای پیدا کرد که اگر آنرا به سه راس مثلث وصل کنیم سه مثلث جدید دارای مساحت های یکسان باشند؟ من که از قبل جواب این سوال را میدانستم بلافاصله گفتم که بلی، صرفنظر از شکل مثلث، همواره میتوان نقطه ای در آن پیدا کرد که اگر آنرا به سه گوشه ی مثلث وصل کنیم مساحت های سه مثلث جدید با هم برابر شوند. این مطلب در یکی از درس های فیزیک هم آمده است و اثبات آن چندان مشکل نیست ومن ظرف دو سه دقیقه به آن دانش آموز نشان دادم که چگونه میتواند چنین نقطه ای را در هر مثلثی پیدا کند.

بعد از این صحبت، این فکر به خاطرم رسید که آیا میتوان نقطه ای نیز  پیدا نمود که اگر آنرا به سه راس وصل کنیم محیط های سه مثلث جدید با هم برابر گردند؟ این سوال برایم تازگی داشت و تا آنوقت آنرا در جایی ندیده بودم لذا علاقه مند شدم که در این باره تحقیق کنم. نخست به یک مثلث متساوی الاضلاع فکر کردم که مرکز آن چنین خاصیتی دارد. بعد به یک مثلث متساوی الساقین فکر کردم دیدم که در روی ارتفاع وارد بر قاعده ی آن به سادگی میتوان چنین نقطه ای را به دست آورد پس طبیعی بود که نتیجه گیری کنم که در سایر مثلث ها هم احتمالا" چنین نقطه ای پیدا میشود. بالاخره بعد از یکی دو روز تلاش به نتایجی هم رسیدم. اینک این مسئله را با شما هم در میان گذاشتم.

 

 

(93) خط لوله در کجاست؟............................................................

مسئله ی هفته: خط لوله در کجاست؟

دهقانی مزرعه ای به شکل مربع و به ضلع صد متر از پدر به ارث برد.

پدر در زمان حیات به فرزندش گفته بود که در پهن دشتی که مزرعه آنها در آن قرار دارد یک خط لوله مستقیم در زیر زمین و در عمق یک متری کشیده شده که قسمتی از آن نیز از زیر مزرعه آنها عبور کرده است ولی کسی نمیداند که این خط لوله در کجا و در چه جهتی است، یعنی از کدام ضلع یا زاویه وارد مزرعه شده و از کدام ضلع یا زاویه  دیگر خارج شده است. حالا دهقان میخواست این را بفهمد تا بتواند از آن خط لوله برای آبیاری مزرعه اش استفاده کند ولی برای اینکار تنها راهی که در اختیار داشت این بود که با استفاده از بیل و کلنگ در سطح مزرعه چندین شالوده مستقیم به عمق یک متر ایجاد کند( مثل شالوده های ساختمانی) تا بالاخره در جایی به خط لوله برخورد کند و رد آنرا بیابد.

                                                     

کندن شالوده ای به عمق یک مترآنهم با بیل و کلنگ البته کار سختی است و طبیعی است که دهقان میخواست که با کمترین زحمت خط لوله را پیدا کند. چند راه به نظرش رسید منجمله اینکه سه شالوده در روی سه ضلع مزرعه حفر کند تا بالاخره نشانه ای از خط لوله بیابد. او میدانست که اگر این کار را بکند خط لوله را صرفنظر از اینکه در چه جهتی و چگونه کشیده شده باشد حتما" پیدا خواهد کرد و البته درست هم فکر میکرد اما در اینصورت او مجبور بود۳۰۰ متر حفاری کند. دید خیلی زیاد است. فکر دیگری به خاطرش خطور کرد: گفت که دو شالوده در روی قطرهای مزرعه حفر کند تا بلکه خط لوله را پیدا نماید. این راه البته حفاری کمتری داشت و مثل روش قبلی نیز رد خط لوله را هم قطعا" پیدا میکرد ولی باز فکر کرد شاید راه بهتری وجود داشته باشد.

از بخت بلندی که دهقان ما داشت یکی هم این بود که در همسایگی شگفتعلی خان بود! شگفتعلی خان را که یادتان می آید! یک روز که دهقان داشت روی مزرعه اش کار میکرد شگفتعلی خان را دید که از آن حوالی میگذرد. دست به دامانش شد و مسئله را با او در میان گذاشت. خان با شنیدن صورت مسئله چهار زانو روی زمین نشست و با یک تکه چوب، مربعی در روی خاک رسم کرد و مثل اجداد بزرگوارش که با خط میخی مینوشتند، چند پاره خط در روی مربع کشید و کمی هم حساب کتاب کرد و بعد از مدتی نقشه ای به دست دهقان داد و به او گفت که اگر بر طبق این نقشه شالوده ها را بکنی هر چه زودتر خط لوله را پیدا خواهی کرد.

شما فکر میکنید شگفتعلی خان چه راه حلی پیشنهاد کرد و چه نقشه ای به دست دهقان داد و دهقان چند متر شالوده باید میکند تا خط لوله را پیدا میکرد؟ 

منتظر جواب دقیق شما هستم، یعنی جوابی که اعشار معشار نداشته باشد!  

راهنمایی ـ جواب ـ حل

مسائل گذشتـــــــــــــه 

(92) قطر زوایا را چگونه تقسیم میکند؟..............................................

مسئله ی هفته: قطر زوایا را چگونه تقسیم میکند؟

در چهار ضلعی ABCD قطر BD زوایای B و D را بر حسب درجه به صورتی که در شکل زیر ملاحظه میکنید تقسیم کرده است.

                                                            

اگر قطر دیگر را رسم کنیم دو زاویه ی دیگر چهار ضلعی چگونه تقسیم خواهند شد؟

ما به دنبال یک راه حل هندسی یا مثلثاتی هستیم. راه حل هایی که به روش ترسیمی و یا با استفاده از ماشین حساب یا کامپیوتر به دست آیند البته خوب اند ولی در اینجا مورد نظر نیستند.

 

راهنمایی - جواب - حل

مسائل گذشتـــــــــــــه

(91) در گله چند گاو موجود است؟ .................................................

مسئله ی هفته: در گله چند گاو موجود بود؟

بزرگعلی خان و کوچکعلی خان دو برادر دامدار بودند که در دامداری خود در شگفت آباد گاو پرورش میدادند.

آن دو پس از سالها کار تصمیم میگیرند که اگر روزی تعداد گاو های شان از پانصد راس متجاوز شد همه ی آنها را به شهر برده و به دولت بفروشند و با پول آن بقیه ی عمر خود را در آسایش بگذرانند. بالاخره هم آن روز رسید و آنها گله ی گاوهای خود را حرکت داده و به شهر بردند تا بفروشند.

دولت برای آنکه دامداران را تشویق به تولید بیشتر و فروش زیاد تر بکند قانون نسبتا" عجیبی را به تصویب رسانده بود که بر اساس آن هر گاه دامداری گله ای گاو به دولت میفروخت، دولت قیمت هر راس گاو را برابر با تعداد گاوهای گله حساب میکرد: مثلا" اگر دامداری گله ای مرکب از ۷۰ راس گاو به دولت میفروخت، دولت به ازائ هر گاو مبلغ  ۷۰ دینار به دامدار میداد و اگر گله  مرکب از ۷۵ گاو میبود، دولت قیمت هر گاو را با دامدار برابر ۷۵ دینار حساب میکرد( خب، شگفت آباد است دیگر!)

                                                

 

آن روز این دو برادر همه ی گاوهای خود را فروختند و پول آنرا در کیسه ای کردند و به خانه آوردند تا بین خود تقسیم کنند. وقتی در خانه پولها را روی میز ریختند دیدند همه ی آنها به صورت اسکناس های ده دیناری هستند به اضافه ی چند سکه ی یک دیناری که تعداد آنها به ده تا نمیرسید.

بعد از تعارفات معمول، بزرگعلی خان که به هر حال برادر بزرگتر بود شروع کرد و اولین اسکناس را برداشت. به دنبال او کوچکعلی خان نیز یکی برداشت. بعد دو باره بزرگعلی خان و بعد از او کوچکعلی خان، به همین ترتیب یکی یکی اسکناسها را بر داشتند تا به آخر رسیدند. اسکناس آخری را هم بزرگعلی خان برداشت. کوچکعلی خان اخمهاش در هم رفت و گفت که پول ها منصفانه تقسیم نشده اند و نصیب او پول کمتری شده است. بزرگعلی خان تعارف کرد و سکه ها را هم به برادرش داد. کوچکعلی خان باز اخم کرد و گفت با اینهمه تو بیشتر از من پول داری و چون دیگر پولی نمانده بود، کوچکعلی خان از برادرش تقاضا کرد که برای آنکه عدالت بر قرار شود چکی بنویسد و مابه التفاوت را به او بدهد تا او راضی شود. بزرگعلی خان هم که آدمی بود اهل منطق و حرف حساب، دست در جیب بغلش کرد ودسته چک اش را بیرون آورد و چکی به اسم کوچکعلی خان نوشت و به او داد. کوچکعلی خان لبخندی از روی رضایت زد و چک را در جیب گذاشت.

اینک شما به دو سوال پاسخ دهید:

۱) اولا" این دو برادر مجموعا" چند گاو فروختند و چقدر پول به دست آوردند؟

۲ ) ثانیا" مبلغ چک چقدر بود؟

جواب - حل

مسائل گذشته 

 

(90)..................................................................

مسئله هفته: نسبت دو پاره خط چقدر است(ب)؟

نقطه ی D در روی ضلع  AC از مثلث ABC انتخاب شده و به راس روبرو وصل گردیده است. در روی این پاره خط نقطه ای وجود دارد مثل نقطه ی P که اگر آنرا به دو راس دیگر مثلث وصل نماییم زاویه ی APC برابر نود درجه میشود و زوایای  ABP  و  BCP همانطور که در شکل نشان داده شده است نیز با هم مساوی میگردند. فرمولی پیدا کنید در ساده ترین شکل خود که به کمک آن بتوان نسبت AD  به DC را بر حسب اضلاع و زوایای مثلث به دست آورد.

                                   

راهنمایی - جواب - حل

مسائل گذشته

(89).........................................................

مسئله ی هفته: نسبت دو پاره خط چقدر است(الف)؟

در شکل زیر، نقطه ی D در روی ساق مثلث متساوی الساقین ABC اختیار شده و به راس B وصل گردیده است. در روی پاره خط ‌ BD  نقطه ای وجود دارد مثل P که اگر آنرا  به رئوس  A و  C  وصل کنیم زاویه ی APC برابر نود درجه میشود و  زوایای   PBA  و  PCB  نیز با هم برابر میگردند.

                                      

نسبت پاره خط های AD و DC را تعیین کنید.

این مسئله را من از یکی از مسابقات ریاضی دبیرستانی در کانادا برای شما انتخاب کرده ام. امیدوارم آنرا بپسندید و موفق به حل آن شوید.

 

راهنمایی - جواب - حل

مسائل گذشته

(88).......................................................................

 مسئله ی هفته: هواپیما چه مسافتی را میتواند پرواز کند؟

 یک جامبو جت با مسافر و خدمه و بار 225 تن وزن دارد و حجم مخازن بنزین آن 240 متر مکعب است. با احتساب وزن مخصوص بنزین که برابر  0.9kg/L  یا  900kg/m³  است وزن کل هواپیما در روی زمین و قبل از پرواز برابر 441 تن میباشد.

این هواپیما از فرودگاه بلند میشود و ظرف چند دقیقه به "ارتفاع پرواز" میرسد. گفته میشود که در حدود بیست در صد کل بنزین یک جامبو جت ظرف همین چند دقیقه مصرف میشود تا هواپیما به این ارتفاع برسد(*) ولی از این لحظه به بعد مصرف سوخت بسیار کمتر میشود و میرسد به تقریبا" 160 لیتر در دقیقه.

 

                                                

 در ارتفاع پرواز، سرعت هواپیما بر حسب "کیلومتر در ساعت" برابر است با عدد ثابت دویست میلیون تقسیم بر مجموع وزن هواپیما و وزن بنزین باقیمانده، هر دو بر حسب کیلوگرم یعنی:

                              (وزن بنزین باقیمانده + وزن هواپیما)/200,000,000 = سرعت پرواز

اگر فرض کنیم که در فرودگاه مبدا، وزن هواپیما به حداکثر مقدار مجاز رسیده باشد و مخازن بنزین نیز همگی پر باشند، معلوم کنید که این هواپیما از لحظه ای که به ارتفاع پرواز میرسد چه مسافتی را میتواند پرواز نماید.

(*) یادداشت: ارتفاع پرواز برای جامبو جت ها در حدود ده هزار متر است(۳۰۰۰۰ تا ۳۵۰۰۰ فوت) و مصرف سوخت آنها در هنگام بلند شدن از زمین تا رسیدن به این ارتفاع بستگی به عوامل متعددی دارد منجمله وزن کل هواپیما، طول و وضعیت باند پرواز، شرایط جوی(مثل باد و جهت آن) تعداد موتورها و غیره. این مصرف تقریبا" یک متر معکب در دقیقه است ولی پس از آنکه هواپیما به ارتفاع پرواز رسید، همانطور که اشاره شد، مصرف سوخت آن بسیار کاهش می یابد و میرسد به ثقریبا" یک متر مکعب در ساعت. ضمنا" در ارتفاع پرواز خلبان ها با کنترل میزان سوخت، سرعت هواپیما را کنترل میکنند و اجازه نمیدهند که با سبک تر شدن هواپیما به علت سوخته شدن بنزین، سرعت هواپیما از حد معینی بیشتر شود. اطلاعاتی که در این مسئله داده شده است همگی تقریبی و در مورد بزرگترین جمبو جت موجود اند و کمی تغییر داده شده اند تا مناسب برای مسئله گردند. این یادداشت فقط جهت اطلاع خواننده است و اعداد و ارقام داده شده در آن در حل مسئله نقشی ندارند.

جواب - حل

فهرست مسائل گذشته

 

(87) ............................................................................

مسئله ی هفته: یک مسئله ی به ظاهر ساده و چندین راه حل زیبا

در شکل زیر اندازه ی دقیق زاویه ی X را پیدا کنید. مثلث  ABC  یک مثلث متساوی الساقین است با زاویه ی راس بیست درجه.

                                             

این مسئله که در نظر اول بسیار ساده و پیش پا افتاده به نظر می آید ولی واقعا" اینطور نیست، با استفاده از روش ترسیمی نیز قابل حل است لیکن باید ابزار ترسیم خوب و دقت ترسیم کننده بسیار بالا باشد تا اندازه ی دقیق زاویه X به دست آید. با اینهمه در اینجا منظور ما حل هندسی یا مثلثاتی مسئله است نه حل ترسیمی آن، هر چند به روش ترسیمی جواب دقیق هم به دست آید.

 

جواب - حل

فهرست مسائل گذشته

(86) معمای شهر تاریک....................................................

مسئله ی هفته: معمای شهر تاریک

یک لحظه چشمان خود را ببندید و شهری را در نظر مجسم کنید که همه چیزش سیاه است: ساختمان هایش سیاه، خیابان هایش سیاه، درختانش سیاه، مردمش سیاه، حیواناتش سیاه و خلاصه همه چیزش سیاه. اصلا" اسمش هم سیاهشهر است! در زیر به عکس این شهر توجه بفرمایید، اگر شما چیزی جز سیاهی میبینید ما هم می بینیم!

                                                 

دست بر قضا و مزید بر این همه سیاهی، یک طوفان بسیار سخت هم آمده که تمام نیروگاه های برق را از کار انداخته، بسیاری از دیرک های برق را شکسته و همه ی خطوط انتقال نیرو را پاره کرده و در روی زمین ریخته است. چراغهای راهنمایی و رانندگی در سر چهار راه ها همه خاموش گشته اند و تا فرسنگها هیچ چراغی سوسو نمیزند و همه چیز در سیاهی فرو رفته است.

 در چنین شرایطی، اتوموبیلی که هر دو چراغ جلو آن شکسته است به چهار راهی نزدیک میشود. در همان هنگام یک عابر پیاده در لباس سیاه در حال عبور از عرض خیابان است. اتوموبیل به نزدیکی عابر که میرسد راننده در یک حرکت ناگهانی و با مهارتی تمام و غیر قابل تصور  فرمان را می پیچاند و عابر هم که اینک دیگر متوجه خطر شده است سریعا" خیزی به جلو بر میدارد و خود را به پیاده رو میافکند. به این ترتیب صحنه ای که میرفت منجر به حادثه ی بدی شود به خیر میگذرد.

 راستی راننده در آخرین لحظه در میان اینهمه سیاهی چگونه متوجه عابر شد؟

 جواب

فهرست مسائل گذشته

 

(85) معمای اعداد زمینی و اعداد مریخی.............................................

مسئله ی هفته: معمای اعداد زمینی و اعداد مریخی

فرض کنید که در کره ی مریخ هم حیات به شکلی که در زمین هست وجود داشته باشد لیکن دستگاه شمارش آنجا با آنچه که ما در زمین میشناسیم( یعنی دستگاه دهدهی ) فرق کند:

                               

 اگر یک سوم شصت گوسفند بشود سی گوسفند، آنگاه نصف دویست گوسفند میشود چند گوسفند؟

 جواب - فهرست مسائل گذشته

 

 

(84) معمای قناری های فضانورد......................................................

مسئله ی هفته: معمای قناری های فضانورد

 یک سازمان فضایی قبل از آنکه انسان به فضا بفرستد برای مطالعه و بررسی تاثیر محیط های کیهانی بر روی ارگانیزم زنده، تصمیم داشت که به جای میمون چند قناری در سفینه بگذارد زیرا قناری ها نسبت به میمون ها هم غذای و آب کمتری میخواهند، هم سبکترند  و هم جای کمتری میگیرند در حالیکه تاثیرات محیط های کیهانی بر روی سلولهای هر دو یکسان است.

 این نظر فورا" توسط یک بیولوژیست حیوان شناس مردود اعلام شد. او گفت که اگر قناری ها را به فضا بفرستید در بازگشت همه را مرده خواهید یافت. چرا قناری ها در یک سفر فضایی میمیرند ولی میمون ها میتوانند زنده بمانند؟

 

جواب

فهرست مسائل گذشته

(83) حد اکثر مساحت یک چهارضلعی(قسمت دو)................................

                               سال نو بر همه دوستان فرخنده و مبارک باد    

                               

 

مسئله ی هفته : حد اکثر مساحت یک چهارضلعی(قسمت دو)

مسئله ی این هفته در واقع حالت کلی مسئله ی هفته ی پیش است. ابعاد یک چهار ضلعی معلومند: a و b و c و d . اگر فرض کنیم که این چهار ضلع در محل رئوس با یکدیگر لولا شده اند آنگاه به آسانی میتوان تصور نمود که با کم و زیاد کردن زوایا، از نظر ریاضی میتوان بینهایت چهار ضلعی بوجود آورد که اضلاع همه ی آنها همان a و b و c و d است لیکن مساحتهای آنها با هم فرق دارند. در میان اینهمه چهار ضلعی تنها یکی هست که مساحتش از همه بیشتر است. این چهار ضلعی مورد نظر ماست. فرمولی استخراج کنید که به کمک آن بتوان حد اکثر مساحت ممکن برای این چهارضلعی را تامین نمود.

                                                     

 تاریخچه:  تقریبا" ۱۴۰۰ سال است که فرمول مورد نظر ما توسط یک ریاضیدان و منجم هندی به نام براهماگوپتا (Brahmagupta) کشف شده است و امروزه میتوان آنرا در کتاب های هندسه یا هند بوک های ریاضی پیدا نمود. براهماگوپتا در آثار بجا مانده از خود هیچگونه تحلیل ریاضی از این فرمول ارائه نداده است به همین دلیل هم برخی از مورخین ریاضی نظرشان بر اینست که براهماگوپتا این فرمول را به صورت تجربی و از روی فرمول هارون مصری که محاسبه ی مساحت مثلث را از روی اضلاع آن به دست میدهد( و در حدود ۵۰۰ سال قبل از او کشف شده بود) حدس زده و امتحان کرده است خصوصا" که دو فرمول شباهت زیادی نیز به هم دارند. دلیلی که این مورخین اقامه میکنند این است که در آن تاریخ نه کلکولس کشف شده بود و نه بسیاری از قضایای مثلثاتی که در استخراج امروزی این فرمول مصرف دارد. در هر حال به یقین نمیتوان گفت و ما هم در اینجا به این مطلب کاری نداریم!

براهماگوپتا یکی از نوابغ عرصه ی ریاضیات و نجوم در عهد باستان است. او در زمینه های گوناگونی از این دو علم تحقیقات پر ارزشی کرده که حاصل آنها را در دو کتاب، یکی به نام  Brahmasphutasiddhata (به معنی دریچه ای به سوی کائنات) که در سی سالگی نوشته و دیگری با نام  Khandakhadyaka  که در ۶۷ سالگی به رشته ی تحریر در آورده برای ما میراث گذاشته است. وی سالها رئیس رصدخانه ای در هند بوده که در آنجا تعدادی از ریاضیدانهای معروف با او همکار بوده اند.

 براهماگوپتا در ریاضیات در زمینه های هندسه، جبر، حساب و مثلثات تحقیقات بسیار داشته است. از دستگاه اعداد اطلاعاتش وسیع بوده و صفر و اعداد منفی را میشناخته است. او صفر را به عنوان یک "عدد" معرفی کرده و به خواص آن آگاه بوده است. مثلا" او میدانسته که وقتی صفر را با عددی جمع کنیم یا از آن تفریق نماییم در اندازه ی آن عدد تغییری به وجود نمی آید. همچنین وقتی صفر را در عددی ضرب کنیم حاصل صفر خواهد شد. او اعداد مثبت و منفی را مانند حسابدارهای امروزی به "بستانکار" و "بدهکار" تشبیه میکرده است. با اینهمه او این اشتباه را داشته که فکر میکرده صفر تقسیم بر صفر نیز برابر صفر است در حالیکه ما امروز از برکت حد میدانیم که صفر تقسیم بر صفر یکی از صور مبهم است.

کتاب اول او داری ۲۵ فصل است که در آن در باره ی کائنات، موقعیت سیارات و ارتباط آنها با هم، محاسبه ی طول و عرض جغرافیایی حقیقی و طول و عرض جغرافیایی متوسط زمین و برخی از سیارات دیگر، علل ماه گرفتگی و خورشید گرفتگی، نیز علل پیدایش هلال و بدر در ماه، محاسبه ی طول روز برای سیاراتی که میشناخته است و بسیاری مطالب دیگر گفتگو کرده است. او همچنین طول سال را برابر ۳۶۵ روز و ۶ ساعت و ۱۲ دقیقه و۳۶ ثانیه محاسبه نموده بود که از مقدار دقیق امروزی آن تقریبا" ۲۴ دقیقه بیشتر است. این کتاب در زمان خلفای عباسی از هند به بغداد آورده شد و توسط ابوریحان بیرونی(که با زبان سانسکریت و فرهنگ هند آشنایی داشت) و تنی چند از مترجمان دیگر به عربی برگردانده شد.

براهماگوپتا در حدود هفتاد سال عمر کرد و در سال ۵۷۰ میلادی دیده از جهان بر بست( درست همان سالی که در آن پیامبر اسلام دیده به جهان گشود. مقایسه ی عقاید و دیدگاه های این دو شخصیت که تقریبا در یک عصر و در دو اقلیم جغرافیایی نه چندان دور از هم میزیسته اند و اینکه نگرش هر کدام به کائنات، زمین، ماه، خورشید، آسمان، ستارگان، گردش سیارات و علل پیدایی هلال و بدر ماه و غیره چگونه بوده است بسیار قابل تامل است)

راهنمایی ـ جواب ـ حل

فهرست مسائل گذشته

 

(82) حد اکثر مساحت یک چهارضلعی(قسمت یک)..........................

مسئله ی هفته: حد اکثر مساحت یک چهارضلعی (قسمت یک)

فرض کنیم که چهار میله به طولهای یک متر، دو متر، سه متر و چهار متر به شما داده اند و از شما خواسته اند که با آنها یک چهار ضلعی بسازید که حد اکثر مساحت ممکن را داشته باشد

                                       

شما چگونه این چهار میله را به هم جوش میدهید که این خواسته عملی شود؟ ترتیب قرار دادن میله ها چیست و زاویه ی بین هر دو میله دقیقا" چقدر است؟

راهنمایی - جواب - حل

 فهرست مسائل گذشته

 

(81) اندازه ی یک تابع......................................................

    

 مسئله ی هفته: اندازه ی یک تابع

تابع  (f (x   چنان است که در باره ی آن میتوان گفت:

                                      (f (1) + f (2) + f (3) + ...... + f (n) = n² f (n                                                                                                                              

                                          اگر بدانیم:  f (1) = 999  است ، معلوم کنید  (f (999   چقدر است؟

 

راهنمایی - جواب - حل

فهرست مسائل گذشته

                                                                                                                           

            

                                                         

(80) معمای دو مجموع ....................................................

مسئله ی هفته:  معمای دو مجموع

 این معما را باید بدون استفاده از قلم و کاغذ و ماشین حساب، فقط و فقط ذهنی حل کنید. یعنی شیرینی و لطف آن در اینست که ذهنی حل کنید و الا با ماشین حساب یا قلم و کاغذ که هر کس میتواند آنرا حل کند! بعد از قطعی شدن جواب تان، البته میتوانید با استفاده از قلم وکاغذ یا به کمک یک ماشین حساب، درستی آنرا بررسی نمایید.

 اگر اعداد موجود در هر ستون با هم جمع زده شوند حاصل جمع کدام ستون بیشتر است، ستون چپ یا ستون راست؟ اختلاف آنها چقدر است؟ اگر جواب درست را بدست آورید یکی از جلوه  های زیبای ریاضی را خواهید دید!

 

             987654321             123456789

         087654321             123456780

         007654321             123456700

         000654321             123456000

         000054321             123450000 

         000004321             123400000

         000000321             123000000

         000000021             120000000

         000000001             100000000

   جمع: _________       جمع: __________

                                                                          

جواب این معما

فهرست مسائل گذشته  

 

 

 

(79) پارو کردن برف.............................................................

مسئله ی هفته: پارو کردن برف

امروز صبح ساعت هشت وقتیکه از خانه بیرون آمدم تا به سر کارم بروم دیدم که برف زمین و زمان را  پوشانده است. خیلی تعجب کردم چون تا نیمه شب گذشته که بیدار بودم اصلا" خبری از برف نبود. هوا سرد بود البته، اما هیچ نشانه ای از برف باریدن دیده نمیشد. هر چه بود بعد از نیمه شب وقتیکه من خوابیده بودم برف شروع به باریدن کرده بود.

مشغول تمیز کردن جلو در خانه شدم تا بتوانم اتوموبیل ام را بیرون بیاورم. در همین موقع دیدم که ماشین برف پارو کنی شهرداری که در روزهای برفی همیشه از ساعت شش صبح شروع به پارو کردن برف های خیابان های اصلی میکند مشغول کار است. برف با سرعت یکنواخت و آرامی میبارید و دانه های آن رقص کنان بر زمین مینشستند.

                               

 

ماشین برف پارو کن به نزدیک خانه ی من که رسید، راننده اش دستی برای من تکان داد و سلامی کرد، من هم متقابلا"سلامی کردم و پرسیدم آیا میدانی از چه ساعتی برف شروع به باریدن کرده است؟ جواب داد که نه نمیدانم. پرسیدم چند کیلومتر از خیابان ها را پارو کرده ای؟ جواب خیلی روشنی به من نداد و گفت در ساعت اول (یعنی از ساعت شش تا هفت) که برف کمتری روی زمین بود پیشرفت کار بد نبود ولی در ساعت دوم پیشرفت کار نصف پیشرفت ساعت اول بود، و ادامه داد که کامیون من توان معینی دارد یعنی در هر ساعت مقدار معینی برف را میتواند پارو کند. هر چه برف بیشتر ببارد سرعت کامیون کمتر میشود( به زبان ریاضی فیزیک، منظور راننده این بود که در هنگام برف روبی، سرعت کامیون نسبت معکوس دارد با ضخامت برف موجود در روی زمین)

در این فکر بودم که آیا با اطلاعات نه چندان روشنی که آقای راننده به من داد میتوان ساعت دقیقی را که برف شروع به باریدن کرده بود پیدا کرد یا نه؟ معما را برداشتم و همراه خودم به مدرسه بردم و در طول روز و در فواصل بین زنگها مدتی روی آن فکر کردم. بالاخره زمانی رسید که کاملا" قانع گردیدم همین اطلاعات برای حل معما کافی است. آنگاه دست به کار حل آن شدم.

شما هم لطفا"قلم و کاغذ بردارید (و ترجیحا" یک ماشین حساب) و زمان دقیقی را که برف شروع به باریدن کرده بود بر حسب ساعت و دقیقه و ثانیه به دست آورید.

 راهنمایی - جواب - حل

مسائل گذشتــــــــــــــــه

(78) اندازه ی دقیق اضلاع و محیط یک مثلث.........................................

مسئله ی هفته: اندازه ی دقیق اضلاع و محیط یک مثلث

در شکل زیر ارتفاع، نیمساز و میانه ی صادر شده از یک راس مثلث داده شده است، اندازه ی دقیق اضلاع مثلث و در نهایت اندازه ی دقیق محیط آنرا در ساده ترین شکل خود محاسبه کنید.  

                                             

 

مسئله را در حالت کلی هم حل نمایید، یعنی با داشتن ارتفاع، نیمساز و میانه، فرمولی پیدا کنید در ساده ترین شکل خود که محیط مثلث را بر حسب این سه کمیت به دست دهد:

                                                 

 

راهنمایی ــ جواب ــ حل

مسائل گذشته

(77) معمای میز و صندلی ها ........................................................

مسئله ی هفته: معمای میز و صندلی ها

 

دو شریک یک کارخانه ی بزرگ چوب بری راه می اندازند تا در آنجا میز و صندلی بسازند. این کارخانه شبانه روزی است و در سه شیفت هشت ساعته کار میکند. هنوز شروع به کار نکرده بودند که بین آقایان اختلاف می افتد! اختلاف شان هم بر سر تعداد میز و صندلی ها بود: یکی میگفت باید اینقدر از این و آنقدر از آن بسازیم، دیگری میگفت نه، باید آنقدر از این و اینقدر از آن بسازیم!

 

                                                   

 

تمام ماشین هایی که این دو شریک در کارخانه شان داشتند 34 دستگاه بود به شرح زیر:

 

                         1) ده دستگاه اره برقی

                         2) شش دستگاه خراطی

                         3) هجده دستگاه سنباده زنی

 

هر صندلی تا ساخته شود، 10 دقیقه زیر اره برقی میرود، 5 دقیقه زیر خراطی و 5 دقیقه هم زیر سنباده زنی. هر میز هم 5 دقیقه زیر اره برقی میرود، 5 دقیقه زیر خراطی و 20 دقیقه هم زیر دستگاه سنباده زنی.

 

اگر این دو شریک اختلاف شان را پیش شما می آوردند تا شما آنرا رفع کنید چه پیشنهادی به آنها میکردید؟ آنها در هر شبانه روز باید چند میز و چند صندلی بسازند تا بهترین استفاده را از این کارخانه ببرند؟

 

هر صندلی در بازار 10 دلار و هر میز 20 دلار قیمت دارد. ضمنا" میز و صندلی ها جداگانه هم فروخته میشوند، یعنی لازم نیست که مثلا" یک میز با شش صندلی فروخته شود.

 

راهنمایی ــ جواب ــ حل

 

مسائل گذشته                                                                                                                                                                                                                                                                     

(76) معمای میوه فروش لب جاده....................................................

مسئله ی هفته : معمای میوه فروش لب جاده

 باغداری سه تن میوه از باغ خود می چیند و آنها را برای فروش به لب جاده می آورد. تولید این میوه ها پای باغدار کیلویی دو دلار تمام شده است ولی او مطمئن است که میتواند آنها را کیلویی چهار دلار بفروشد.

                                               

او در روز اول یک سوم میوه ها را میفروشد و در روز دوم بقیه ی آنها را. اما در روز دوم بواسطه ی گرمای هوا، میوه ها مقداری از آب خود را از دست داده و سبک تر میشوند. اگر بدانیم که میوه ی تازه ۹۹ در صد آب دارد و مانده که شد ۹۶ درصد، در اینصورت معلوم کنید که این باغدار در این معامله چقدر سود برده است.

 این معما را دوست نوجوان ما حسین آقا مدتی پیش مطرح کرد و دوست دیگری هم جواب ایشان را داد. این هفته من در معما کمی دست برده و آنرا اندکی تغییر دادم تا تازگی پیدا کند.

جواب ــ حل

مسائل گذشته

 

                                       

 

(75) معمای کلاه و روسری بانوان.....................................................

مسئله ی هفته: معمای کلاه و روسری بانوان

خانم پر ابتکار بتازگی در یک فروشگاه لباس زنانه با سمت مدیر شروع به کار کرده است.

 

                                                           

 

 در اولین روز کار، ایشان یک محموله ی بزرگ لباس را که از خارج وارد شده است دریافت مینماید. وقتی که آنرا باز میکند همه جور لباس زنانه در آن میبیند ولی متاسفانه در لیست پیوست، قیمت لباسها  همگی از قلم افتاده بود. او که هیچگونه دسترسی به فرستنده محموله یا صاحب فروشگاه نداشت تا قیمت تک تک لباسها را جویا شود ناچار میشود تا وقتیکه قیمتهای واقعی البسه را دریافت ننموده است خودش ابتکاری به خرج دهد و یک جوری بر روی لباسها قیمت گذاری کند. چند قلم از جنس ها را اینطور قیمت گذاری کرد:

                   

                                 کفش چرمی پاشنه بلند ــــــــــــــــ 32000 تومان

                                 کفش چرمی ساده ــــــــــــــــــــــــ 22000 تومان

                                 کفش کتانی ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 16000 تومان

                                 شلوار ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 10000 تومان

                                 دامن ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ 8000   تومان

 

بر اساس سیستم اختراعی خانم پر ابتکار، ایشان کلاه و روسری را هر کدام چند تومان باید بفروشد؟

 

  راهنمایی ـ جواب

 

مسائل گذشته

 

(74) معمای آثار عتیقه..................................................................

  مسئله ی هفته : معمای آثار عتیقه

آقای باستانی که استاد تاریخ و باستان شناسی است به تازگی از یک سفر چند ماهه به خاور میانه و شمال آفریقا باز گشته است. ایشان در مورد این سفر و دیده ها و شنیده های خود، سخنرانی مفصلی برای دانشجویان و قاطبه ی مردم در دانشگاه ایراد نمودند.

 آقای باستانی در بخشی از این سخنرانی گفتند که اگر چه همه ی سفر برای ایشان خاطره انگیز و آموزنده بوده است لیکن هیجان انگیز ترین بخش سفر و در واقع قله ی رفیع مشاهدات شان، دیدن آثار هنری دستی از انسان های عهد باستان بوده است که به تازگی کشف شده اند و او خیلی به خود میبالد که در شمار نخستین گردشگرانی بوده که موفق به دیدن آن آثار شده است.  

 

                                                

     

از جمله ایشان از دیدن بدن های مومیایی شده ی مصری ها که متعلق به بیش از هزار سال قبل از میلاد و نیز از سکه های نقره ای و طلایی با تصاویری از شاهان وقت که در پشت آنها تاریخ پانصد سال قبل از میلاد حک شده بود و نیز از انواع و اقسام اسلحه های فلزی که قدمت آنها به چند هزار سال قبل از میلاد میرسیده بسیار لذت برده است...

 

کجای اظهارات این استاد اشتباه و از نظر عقلی قابل ایراد است؟

 

راهنمایی ــ جواب

 

مسائل گذشته

                                                  

(73) کمینه ی یک مساحت(2)................................................

مسئله ی هفته : کمینه ی یک مساحت(۲)

یک قطعه کاغذ به شکل مثلث راستگوشه EKF و با اضلاعی به طول های  e  و f  و  k  در دست است. کاغذ را تا میکنیم بطوریکه گوشه ی قائمه ی مثلث بر روی وتر قرار گیرد.

                                                              

فرمولی پیدا کنید برحسب اضلاع و زوایای مثلث، در کمال سادگی و ایجاز، که کمینه ی مساحت قسمت تا شده( یعنی مساحت مثلث TGS )را مستقیما" به دست دهد.

توضیح: این مسئله حالت کلی تر مسئله ی شماره 68 است. توصیه میشود دوستانی که تا کنون آن مسئله را ندیده اند، یا دیده اند و حل نکرده اند قبل از آنکه دست به کار مسئله ی این هفته شوند، مسئله ی 68 را حل نمایند. حتی با دانستن راه حل مسئله ی 68 هم، پیدا کردن یک فرمول کلی برای مسئله ی این هفته کار چندان آسانی نیست(لااقل برای من نبود. شاید کسی بتواند راه حل هندسی هوشمندانه و کوتاهی بیابد)

 جواب ــ حل

 

مسائل گذشته

(72) معمای خانواده ی پر اولاد........................................................

مسئله ی هفته : معمای خانواده پر اولاد

 وقتیکه آقای اولاد دوست و خانم اولاد ساز با هم ازدواج کردند هر دو بیوه بودند اما هر کدام از آنها چند فرزند از ازدواج های قبلی خود داشتند. چند سال بعد از ازدواج، آنها صاحب چند فرزند دیگر هم شدند به طوریکه تعداد کل فرزندان آنها به 23 نفر رسید!

 

                                                             

 

یک روز ما برای جشن تولد دو تا از این بچه ها که تصادفا" در یک روز به دنیا آمده بودند( دو قلو نبودند) به خانه ی بزرگ این خانواده ی پرفرزند دعوت شده بودیم. بچه ها همه حضور داشتند و شادی و هیاهوی آنها به همراه موزیک جشن تولد تا فلک میرسید. در میان اینهمه جنجال و سر و صدا من شنیدم که 15 تا از بچه ها به آقای اولاد دوست میگفتند پدر و 14 تای آنها هم به خانم اولاد ساز میگفتند مادر.

 

شما بگویید که این آقا و خانم قبل از آنکه با هم ازدواج کنند، هر یک چند فرزند داشتند و بعد از ازدواج چند تای دیگر گیرشان آمد؟

 

جواب ــ  حل

 

مسائل گذشته

 

 

(71) معمای گوسفندان شگفتعلی خان.............................................

مسئله ی هفته: معمای گوسفندان شگفتعلی خان

شگفتعلی خان یک دامداری بزرگ هم دارد که در آن گوسفند پرورش میدهد. او همیشه از قبل علوفه ی مورد نیاز گوسفندانش را تهیه میکند تا این تپلی ها! هیچوقت با مشکل کم غذایی روبرو نشوند.

                                     

یک روز که شگفتعلی خان مشغول رسیدگی به امورات گوسفندانش بود و حساب و کتاب آنها را بررسی میکرد همین طور که سرانگشتی حساب کرد دید اگر صد تا از گوسفندانش را بفروشد، علوفه ی موجود، سه ماه بیشتر دوام می آورد ولی اگر شصت گوسفند دیگر بخرد تا پروار کند و بعد بفروشد، علوفه ی موجود یک ماه زودتر تمام میشود.

حالا شما ببینید با همین دو سه قلم اطلاعاتی که دادم خدمت تان آیا میتوانید حساب کنید که شگفتعلی خان چند گوسفند و چقدر علوفه دارد؟ و اگر ایشان نه گوسفندی بخرد و نه گوسفندی بفروشد علوفه ی موجود کفاف چند ماه گوسفندانش را میدهد؟

راهنمایی ــ جواب ــ حل

مسائل گذشته 

 

(70) معمای مسافر و قطار............................................................

مسئله ی هفته: معمای مسافر و قطار

وقتیکه قطار مسافربری در ایستگاه ترمز کرد پیرمرد که چند دقیقه ای میشد منتظر رسیدن قطار بود خود را در مقابل آخرین واگن قطار دید. قطار مرکب از دو لوکوموتیو بود، یکی در جلو و دیگری در عقب که در بین آنها پنجاه واگن قرار داشت. طول هر واگن هم 15 متر بود.

 

پیرمرد از در عقب آخرین واگن سوار شد و به دنبال صندلی خالی گشت که بنشیند ولی با کمال نومیدی دید که همه ی صندلی ها از ایستگاه های قبلی پر شده اند. تصمیم گرفت به واگن بعدی برود و ببیند آنجا وضع چطور است. چمدانش را زمین گذاشت و به راه افتاد. قطار هم همانموقع حرکت کرد و پیرمرد از پنجره ی واگن دید که قطار دارد از مقابل اداره ی پست شهر عبور میکند.

 

                                                               

 

پیرمرد در واگن بعدی هم صندلی خالی پیدا نکرد و همین طور واگن به واگن جلو رفت تا بیست دقیقه بعد به آخرین آنها رسید. در حالیکه از نیافتن حتی یک صندلی خالی سخت پکر شده بود تصمیم به بازگشت گرفت. تعدادی از مسافرین که ظاهرا" از بسیار نشسته بودن خسته شده بودند به راهرو های قطار آمده  تا بایستند و کمی رفع خستگی کنند. به همین دلیل بازگشت پیرمرد کمی بیشتر طول کشید و نیمساعت شد.

 

وقتیکه به چمدانش رسید چاره ای ندید جز آنکه از چمدان به عنوان صندلی استفاده کند و همانجا روی آن بنشیند تا به مقصد برسد. وقتیکه داشت مینشست از پنجره نگاهی به بیرون انداخت و دید که قطار دارد از روبروی ساختمان شهرداری میگذرد. او میدانست که فاصله ی اداره ی پست تا ساختمان شهرداری دقیقا" 12 کیلومتر است. پیش خود فکر کرد ای بابا به درد سرش نمیارزید، مثل اینکه اگر پیاده رفته بودم زود تر میرسیدم!

 

 

 

پیرمرد وقتیکه روی چمدانش نشست سرش را به دیوار قطار تکیه داد و به خواب شد. یک ساعت بعد حس کرد که کسی دارد او را صدا میزند و میگوید که رسیده ایم، بلند شو ! پیرمرد از خواب بیدار شد و چمدانش را برداشت و از قطار بیرون رفت.

 

فاصله ی مبدا تا مقصد برای مسافر پیر ما چند کیلومتر بوده است؟

 

راهنمایی ــ جواب ـ حل

 

 

 

(70) حل

حل: پیرمرد مجموعا" 50 دقیقه در قطار پیاده راه رفته است. چون در این مدت قطار 12 کیلومتر راه طی کرده است، بنابر این سرعت قطار میشود 14.4 کیلومتر در ساعت: 12km/(50/60)hr . در مدت یک ساعتی که پیرمرد خوابیده است قطار 14.4 کیلومتر رفته که به اضافه ی12 کیلومتر جمعا" میشود26.4 کیلومتر( فاصله ی مبدا تا مقصد ).

(69) معمای دختر گلفروش............................................................

مسئله ی هفته: معمای دختر گلفروش

شب عید رفته بودم چند شاخه گل نرگس برای سفره ی نوروزی بخرم تا در کنار سنبل هایی که از قبل تهیه کرده بودم بوی فرحبخش بهار و طراوت دلپذیر آنرا بیشتر به خانه مان بیاورم. به نزدیکترین مغازه ی گلفروشی رفتم. دختر گلفروش با لبخندی به استقبالم آمد و وقتی به او گفتم که چه میخواهم در مدت کوتاهی چند شاخه گل نرگس را به طرز بسیار زیبایی آراست و به من داد. منهم در مقابل یک اسکناس و چند سکه یک دلاری به او دادم و از بابت گلها و آنهمه سلیقه که در آراستن آنها بکار برده بود تشکر کردم.

                                                             

 

گلها را برداشتم و چندانکه داشتم در را باز میکردم تا از مغازه اش خارج شوم آخرین نگاهم را به او انداختم تا از او خداحافظی کنم. دخترک مثل دسته گلی زیبا و دلفریب در میان آنهمه گلهای رنگارنگ و بوی خوش در پشت میز کار شیشه ای اش که چراغهای بالای سر آنرا درخشان تر کرده و هاله ای از نور چون رنگین کمان در اطراف او ایجاد کرده بودند، مثل فرشته ای دلربایی میکرد. تا نگاهش با نگاه من تلاقی نمود مثل اینکه از قبل میخواست چیزی به من بگوید، پیش از آنکه بگذارد از او خداحافظی کنم، "لب شیرین گشود و با من گفت": "آقا، من ده شاخه دیگر از این نرگس ها برایم باقی مانده است. میدانم امشب عید شما ایرانیها است و شما این گلها را برای سفره ی عیدتان میخواهید. اگر من تا آخر امشب آنها را نفروشم فردا همه شان روی دستم خواهند ماند ولی اگر شما لطف کنید و آنها را هم از من بخرید من در قیمت به شما تخفیف خواهم داد و با شما معامله ی خوبی خواهم کرد."

 

گفتم :"چه معامله ی خوبی با من خواهید کرد خانم عزیز؟" گفت:" همه ی گلها را در مجموع با شما بیست دلار حساب خواهم کرد، یعنی هم گلهایی را که قبلا" خریده اید و هم این ده شاخه دیگر را. به این ترتیب شما برای هر دوجینی سه دلار کمتر پرداخت میکنید( یعنی برای هر 12 شاخه گل سه دلار کمتر میدهید) و این معامله ی بسیار خوبی است. باور بفرمایید! حتا اگر خودتان هم اینقدر گل لازم ندارید میتوانید چند شاخه از آنها را به دوستان تان هدیه ی سال نو بدهید."

 

لحظه ای پیش خود اندیشیدم: "معامله ی خوب؟ آنهم از خوبرویان؟ مگر خودشان نگفته اند اینکار کمتر آید؟!" اما براستی وقتی برای چند لحظه ای عدد و رقم ها را در ذهنم پس و پیش نمودم و قدری حساب کتاب کردم، در حالیکه آن نازنین همچنان خیره به چهره ی من منتظر بود ببیند بالاخره من چه تصمیمی خواهم گرفت، به این نتیجه رسیدم که او درست میگوید و معامله اش با من واقعا" منصفانه و خوب است. یک لحظه حق را از حافظ گرفتم و به دخترک گلفروش دادم! باور کنید اگر آن بزرگوار هم در آن لحظه بجای من میبود در مقابل آنهمه ناز، متانت، شیرین زبانی، ادب و طراوت کاری جز این نمیکرد.

 

گلها را همه به مبلغ بیست دلار از او خریدم. هم من از معامله راضی بودم هم او.  من غیر از رضایت، در حیرت هم بودم که آن "دلبر ترسا" چگونه با غمزه مرا معمایی آموخت که به فکر خودم هم نرسیده بود.

 

                                                                                 نگار من که به مکتب نرفت و خط ننوشت       به غمزه مسئله آموز صـــــــد مهندس شد!

 

با شادی دو چندان به خانه رفتم تا معما را به روی کاغذ بیاورم و آنرا در این شبهای فرخنده تقدیم حضور دوستان کنم. باشد که دقایقی چند اندیشه ای زیبا در شما بوجود آورد و شما معلوم کنید که من آنشب در مقابل بیست دلار چند شاخه گل نرگس از آن گل رعنا خریدم؟

 

راهنمایی ــ جواب ــ حل                    

 

برای مسائل 61 ببعد لطفا" روی سرآغاز کلیک کنید.

 

فهرست کامل مسائل و معماهای گذشته

                       

01) مسئله ی شتر و حمل گندم

02) مسئله ی کوه و جاده

03) معمای سه چراغ و سه کلید

04) معمای دلار گمشده

05) مسئله ی گوسفند و چراگاه

06) یکی از اثبات های عدد پی

07) رمز یک جمله ی دو پهلو

08) گویا کردن یک مخرج

09) نصف کردن یک مزرعه

10) تقسیم یک کیک بین سه نفر

 

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

11) مسئله ی خط آهن و موش صحرایی

12) سه معما

      معمای کارگران ساختمانی

      معمای بازنده ی برنده

      معمای باستان شناس و آدم و حوا

13) مسئله ی مساحت یک حلقه

14) حل یک معادله

15) مسئله ی مربع ناخوانده

16) پارادوکس اعداد پنج دار

17) مثلثی در یک متوازی الاضلاع

18) دزدان دریایی و گنج گمشده

19) یک جسم سه بعدی

20) مسافر تشنه و رودخانه

     معمای چراغ مهتابی

   

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

21) مسئله ی مساحت یک مربع

22) مسئله ی سلسیوس و فارنهایت

23) مسئله ی استخر و سکو

      معمای بابا کوهی

24) مسئله ی پلکان مارپیچ

25) چهار معمای آسان

     معمای خانه ی دوست کجاست

     معمای استاد سخنران

     معمای دو دونده

     معمای گدای دوره گرد

26) مسئله ی کاغذ تا شده

27) مسئله ی میزهای بیلیارد شگفت آباد

28) مسئله ی دیوارهای کج و نردبانهای ضربدری

29) دو نقش زیبا در یک مربع

30) حل یک دستگاه

 

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 

31) مثلثی محاط در یک مربع

32) چند معما

      معمای هشت کارت

      معمای چیزی در زمان

      معمای سکه ها

33) دزدان دریایی و تقسیم نارگیل ها

34) کمینه ی زاویه ی ظلی در بیضی

35) مسئله ی سکه ی محاط شده

      معمای گلهای گلدان دوست

36) یک دستگاه معادله

37) مسئله ی بوسه ی سکه ها

38) مساحت یک ذوذنقه

      معمای فیل های شگفت آبادی

39) مسئله ی تخم مرغ های پوست کلفت

      معمای برادر شگفتعلی خان

40) یک معادله ی مثلثاتی و دو معما

      معمای تابلو های بین دو ده

      معمای مسافر و راننده ی تاکسی

 

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 

41) یک نقاش و دو نقش(نقش اول)

      معمای نام دختر دوست

42) یک نقاش و دو نقش(نقش دوم)

      معمای اسب شگفتعلی خان

43) بسط یک عبارت دراز جبری

      معمای باکتری ها

44) همه ی اعداد، از یک تا دوردستها!

      معمای گلدان های شب عید

45) باز هم بوسه ی دایره ها

      معمای دو پادشاه

      پارادوکس جهاندیده

46) حل یک دستگاه

      معمای اسب چموش

47) مسابقه ی فوتبال چقدر طول کشید؟

      معمای تونل تاریک و باریک

      معمای خانواده و بلم ران

48) تقسیم یک پارک جنگلی

49) مساحت یک مثلث

      معمای مرغ های شگفت آبادی

50) یک تابع مجهول

      معمای هندوانه ها

 

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 

51) مخزن چقدر نفت دارد؟

52) یک قوطی نوشابه افتاده به پهلو

53) دو معمای به ظاهر مثل هم

      معمای پرنده و دو قطار

      معمای پرنده ی عجیب و شتر غریب

54) طول وتر چقدر است؟

55) یک تصاعد هندسی

      معمای سن مادر بزرگ

56) کره ی مقدس

      معمای شماره تلفن های درج نشده

57) بزغاله و چراگاه

      معمای ساعت باشگاه اندیشمندان

58) یک دوچرخه سوار و سه معما

      سرعت متوسط چقدر است؟

      دوچرخه ای با پنج چرخ

      دوچرخه ای با چرخهای کوچک و بزرگ

59) ساده کردن یک رادیکال مرکب

60) قرار ملاقات دو مورچه

 

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

61) دو معمای کارآگاهی

      معمای ساعت وقوع یک جنایت

      معمای گوشواره ی خانم منشی

62) یک سگ و دو گوسفند

63) یک معادله و پنج مجهول

64) مساحت یک مثلث راستگوشه

65) معمای سرخپوستان خالدار

66) معمای پرفسور حواس پرت

67) معمای تخم مرغ فروش

68) کمینه ی یک مساحت(1)

69) معمای دختر گلفروش

70) معمای مسافر و قطار

 

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 

71) معمای گوسفندان شگفتعلی خان

72) معمای خانواده پر اولاد

73) کمینه ی یک مساحت(۲)

74) معمای آثار عتیقه

75) معمای کلاه و روسری بانوان

76) معمای میوه فروش

77) معمای میز و صندلی ها

78) اندازه ی دقیق اضلاع و محیط یک مثلث

79) مسئله ی پارو کردن برف

80) معمای دو مجموع

 

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

81) اندازه ی یک تابع

82) حد اکثر مساحت یک چهار ضلعی(قسمت یک) 

83) حد اکثر مساحت یک چهارضلعی(قسمت دو)

84) معمای قناری های فضانورد

85) معمای اعدادزمینی و اعداد مریخی

86) معمای شهر تاریک

87) یک مسئله ی به ظاهر ساده

88) هواپیما چه مسافتی را میتواند پرواز کند؟

89) نسبت دو پاره خط چقدر است(الف)؟

90) نسبت دو پاره خط چقدر است(ب)؟

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

91) در گله چند گاو موجود بود؟

92) قطر چهارضلعی زوایا را چگونه تقسیم میکند؟

93) خط لوله در کجاست؟

94) سه مثلث با یک محیط

95) ......

96) .....

97) .....

98) .......

99) .....

100) .......

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

 

 

(68) کمینه ی یک مساحت(1)........................................................

                    

                          بهاران خجسته باد

 

                                                                                                    

 مسئله ی هفته: کمینه ی یک مساحت

یک قطعه کاغذ به شکل مثلث راستگوشه با ابعاد  5  در  12  در  13  در دست است. کاغذ را طوری تا میکنیم که گوشه ی قائمه ی مثلث بر روی وتر قرار گیرد. کمترین مساحت قسمت تا شده چقدر است، یعنی کمترین مقدار مساحت مثلث  EGF  چقدر است؟

                                                       

 

 راهنمایی ــ جواب ــ حل

 برای مسائل ۶۱ ببعد لطفا" روی سرآغاز کلیک کنید.

 

 

---

(67) معمای تخم مرغ فروش...........................................................

  مسئله ی هفته: معمای تخم مرغ فروش

هفته ی پیش، ماه شب چهارده ما آقا روزبه لطف کردند و معمایی برای من فرستادند بدین مضمون که یک زن روستایی مقداری تخم مرغ برای فروش به شهر می برد. هنوز زنبیل اش را زمین نگذاشته، اسب سواری از آنجا رد میشود و پای اسبش به زنبیل میخورد و همه ی تخم مرغ ها را میشکند. اسب سوار پوزش میخواهد و حاضر میشود که غرامت را بپردازد، بنابراین از زن میپرسد که چند تا تخم مرغ در زنبیل داشته. زن پاسخ میدهد که تعدادشان را نمیدانم ولی یادم هست وقتی داشتم آنها را توی زنبیل میچیدم دوتادوتا که میگذاشتم یکی زیاد می آمد، سه تا سه تا، چهارتا چهارتا، پنج تا پنج تا، و شش تا شش تا هم که میگذاشتم باز در هر حالت یکی زیاد می آمد اما هفت تا هفت تا که می گذاشتم هیچ زیاد نمی آمد. اسب سوار حساب میکند و تعداد تخم مرغ ها را به دست می آورد و خسارت زن را می پردازد. سوال این است که آن بانو حد اقل چند تخم مرغ میتوانسته داشته باشد؟

معمای خوبی است برای عموم و اگر کسی آنرا قبلا" ندیده باشد میتواند سرگرم کننده هم باشد. ولی چون من پیشتر آنرا در یکی دو جای دیگر دیده بودم و حتی حل آنرا هم زده بودند فکر کردم که دیدن دوباره ی آن ممکن است برای بعضی از خوانندگان ملال آور باشد. به همین دلیل دستی در آن بردم و یکی دو تغییر عمده در آن دادم تا هم شکل دیگری پیدا کند و هم اندکی سخت تر شود. امیدوارم بپسندید و به حل آن راغب شوید.

      

  ********************                                                    

 

 

یک دام دار کارش تولید تخم مرغ است:       

                 

او هفته ای یکبار محصول تخم مرغ هایش را با یک کامیون ده تن به شهر می برد تا بفروشد. روزی در شهر کسی از او می پرسد که این هفته چند تخم مرغ برای فروش آورده است. دامدار جواب میدهد:

وقتی آنها را دوتا دوتا در جعبه ها میگذاشتم یکی زیاد می آمد، وقتی آنها را سه تا سه تا میگذاشتم دوتا زیاد می آمد، وقتی چهار تا چهارتا میگذاشتم سه تا زیاد می آمد و همینطور... ده تا ده تا که میگذاشتم نه تا زیاد می آمد ولی وقتیکه آنها را یازده تا یازده تا میگذاشتم هیچ زیاد نمی آمد.

اگر چهارده تا تخم مرغ یک کیلوگرم وزن داشته باشد(که تقریبا" هم همینطور است) این دام دار حد اکثر چند تخم مرغ برای فروش به شهر برده بود؟

 راهنمایی ــ جواب ــ حل

برای مسائل ۶۱ ببعد لطفا" روی سرآغاز کلیک کنید.

 

(66) معمای پرفسور حواس پرت.......................................................

مسئله ی هفته: معمای پرفسور حواس پرت

اتوموبیل پلیس به چهار راه پر ترددی میرسد و درست در پشت چراغ قرمز ترمز میکند. پرفسور حواس پرت که استاد دانشگاه شهر است سخت غرق در فکر سخنرانی آنروز صبح خود، بدون آنکه متوجه ماشین پلیس بشود از کنار آن میگذرد، از چراغ قرمز عبور میکند و از جهت غلط وارد خیابان یکطرفه ی روبرویی میشود (یعنی از جهتی که تابلو ورود ممنوع نصب شده بود وارد آن خیابان میشود). پلیس فورا" او را تعقیب کرده و متوقف میسازد.

 پرفسور که با دیدن پلیس از عالم خود بیرون آمده بود تازه متوجه میشود که چه اشتباهی کرده و قبل از آنکه پلیس حرفی بزند عذرخواهی میکند و میگوید که واقعا" تعمدی نداشته و فقط سخت در فکر سخنرانی آن روز خود بوده و به همین دلیل متوجه چراغ قرمز نشده است. پلیس هم نگاهی به ریش سفید پرفسور و موهای جو گندمی او می اندازد و اظهاراتش را میپذیرد و او را میبخشد و فقط به یک تذکر شفاهی اکتفا میکند و به استاد یادآور میشود که تکرار چنین خطایی ممکن است منجر به تصادف یا مرگ ایشان شود.

 

با توجه به اینکه عبور از چراغ قرمز و ورود به یک خیابان یکطرفه از جهتی که تابلو ورود ممنوع نصب شده است هر دو از خطاهای بزرگ و نابخشودنی رانندگی است و در همه ی کشورهای جهان جریمه های سنگینی دارد چرا پلیس پرفسور حواس پرت ما را جریمه نکرد و فقط به یک تذکر شفاهی بسنده نمود؟

 

جواب

 

 

(65) معمای سرخپوستان خالدار......................................................

مسئله ی هفته: معمای سرخپوستان خال دار

 

در روزگاران گذشته در میان سرخپوستان قبیله ای زندگی میکرده که افراد آن از بعضی جهات عجیب بودند و با بقیه سرخ پوستان فرق داشتند مثلا" همه ی آنها بدون استثنا بسیار باهوش و از قدرت استدلال قوی و منطقی پرقدرت بهره مند بودند. همگی هر روز صبح ساعت هشت در میدان اصلی شهر جمع میشدند تا یکدیگر را ملاقات کنند. در این موقع رئیس قبیله سخنانی ایراد میکرد و افراد را در دسته های کوچک و بزرگ به کارهای گوناگونی مامور میساخت. افراد قبیله همگی از رئیس متابعت کامل نموده و اوامر او را بدون چون و چرا اجرامیکردند. اما عجیب تر از همه اینکه این افراد نمیتوانستند با یکدیگر حرف بزنند و فقط میتوانستند فکر کنند و به یکدیگر نگاه کنند و اموری را که به آنها محول شده است انجام دهند، اما رئیس قبیله میتوانست با آنها حرف بزند و آنها هم میتوانستند او را درک کنند.

 

                                                                                                                                                                                               

                                                                                          Chief Sitting Bull   

                    

در آخرین روز یکی از سالها رئیس قبیله ساعت هشت صبح، تمام افراد قبیله را جمع کرد و بعد از سخنرانی به آنها گفت که نیمه شب امشب همزمان با تحویل سال، بر پیشانی تعدادی از شما خال سیاهی ظاهر خواهد شد. حضور چنین افرادی در قبیله خوش یمن نیست و نحوست دارد و اگر آنها خارج نشوند همه ی افراد قبیله منجمله خودشان گرفتار بلایی سخت و مصیبتی عظما خواهند شد. از فردا صبح ببعد هر کس در هر روز که فهمید خال سیاهی بر روی پیشانی اش ظاهر شده باید تا قبل از غروب آفتاب همان روز از قبیله بیرون شده و به کوهستانهای دوردست برود و تا آخر عمر در آنجا بماند و بر نگردد.

 

                                                                              

   

دقیقا" همین طور هم شد که رئیس قبیله پیش بینی کرده بود: تعدادی از سرخپوستان دارای خال سیاهی بر پیشانی شان شدند و هر کدام بسته به اینکه در چه روزی از خال دار بودن خود آگاه میشد، تا قبل از غروب آفتاب آن روز اسباب و اثاثیه اش را جمع میکرد و از قبیله خارج میشد.

 

در صبح روز سیزدهم سال نو رئیس قبیله باقیمانده سرخپوستان را در میدان اصلی شهر جمع کرد و با خوشحالی تمام به آنها گفت که دیگر جای هیچ نگرانی نیست چون تمام افراد خال دار از قبیله رفته اند. او آنروز را روز جشن اعلام کرد و همگی به شادی و پایکوبی پرداختند.

 

سوال اینک این است که در لحظه تحویل سال نو، در این قبیله دقیقا" چند نفر خال دار شدند؟

 

توضیح لازم: در این معما نکاتی نهفته است و اصولی وجود دارد که ممکن است همه ی خوانندگان آنها را به وضوح نبینند و به همین دلیل هم در حل خود به بیراهه بروند. بنابر این به منظور اجتناب از گمراهی به این نکات و اصول اشاره میکنیم:

 

1) هیچ کس تا وقتیکه مطمئن نشده که خالدار است از قبیله خارج نخواهد شد(اصل نفس دوستی).

 

2) هیچ کس به نفری که خالدار است نمیگوید که "تو خال داری" حتی با اشاره به پیشانی او هم به او نمیفهماند که او خالدار است چون در این صورت او باید برود(اصل نوعدوستی).

 

3) هیچ کس از آئینه و اجسامی که بتوان صورت خود را درون آنها دید، مثل آب و غیره، استفاده نمیکند زیرا اصل بر برائت است مگر آنکه خلاف آن ثابت شود بنابر این هیچ کس حتی اگر احتمال هم بدهد که خالدار است به آئینه نگاه نمیکند و فقط وقتیکه از طریق تفکر و استدلال مطمئن شد که خالدار است قبیله را ترک میکند.

 

4) در این معما اصل، استنتاجی است که افراد قبیله در ذهنیت خویش میکنند بنابر این هیچ صحبتی با یکدیگر در مورد خال ندارند.

 

راهنمایی - جواب - حل

 

جواب ها حتما" باید همراه با دلیل و برهان باشند تا پذیرفته شوند.

 

                                                       ********************

 

این معمای زیبا را آقایان معصومی و میرزایی جداگانه و از راه دور و آقای دکتر سلیمانی از نزدیک و تقریبا" در یکزمان برای من فرستادند. روایت های شان کمی با هم فرق داشت و من هر سه را در هم ادغام کردم و به شکل فوق تقدیم دوستان نمودم. با تشکر از همه ی این عزیزان. ضمنا" تحقیق کوتاهی هم در مورد کم و کیف این معما کردم و از چند نفر سرخپوست که در اینجا میشناسم منجمله یک همکار، جویای ریشه ی این معما و ارتباط آن با سرخ پوستان شدم، همگی اظهار بی اطلاعی کردند! ابتدا فکر میکردم شاید بی ارتباط به سرخ پوستان مایا در آمریکای جنوبی که روزگاری سر آمد زمانه ی خود در ریاضیات و مهندسی بودند نباشد اما مثل اینکه این طور نبود. معلوم نیست چه کسی این معما را به سرخپوستان وصله کرده است! ولی ابدا" وصله ی بدی نیست. کاش همه ی وصله ها اینقدر زیبا بودند!

 

 

 

(64) مساحت یک مثلث راستگوشه..................................................

مسئله ی هفته: مساحت یک مثلث راستگوشه 

طول های دو نیمساز زوایای تنگ یک مثلث راستگوشه داده شده اند:

                                          

اندازه ی دقیق مساحت مثلث را به دست آورید. منظور از اندازه ی دقیق همانطور که قبلا" هم گفته شده است اندازه ی بدون اعشاری است. بنابراین جوابی که با روش ترسیمی و به کمک کامپیوتر بدست آید هر چند مورد تقدیر است ولی مورد نظر نیست.

من عجالتا" دو راه حل مختلف مثلثاتی برای مسئله دارم که یکی از آنها از خودم است، بنابراین خیلی مایل به دیدن یک راه حل هندسی زیبا و کوتاه هستم.

راهنمایی - جواب - حل

برای دیدن مسائل ۶۱ به بعد لطفا" روی سر آغاز کلیک کنید.

(63) یک معادله و پنج مجهول.........................................................

مسئله ی هفته: یک معادله و پنج مجهول

در معادله ی زیر، A و B و C و D و E اعدادی صحیح، مثبت و متفاوت با یکدیگر هستند:

                 99 = (A - 94)(B - 95)(C - 96)(D - 97)(E - 98)

کوچکترین مقدار مجموع آنها، یعنی کوچکترین مقدار ( A+B+C+D+E ) چقدر است؟

جواب هایی که با استفاده از برنامه های کامپیوتری بدست آیند البته معتبر وقابل قبول اند ولی نظر ما بیشتر بر روی راه حل تحلیلی مسئله است.

 

توضیح: یک معادله و چند مجهول بینهایت جواب دارد ولی وقتی محدودیتی بر مجهول ها اعمال شود تعداد جواب ها کمتر میگردد ولی ممکن است معادله همچنان خیلی جواب داشته باشد که قابل قبول باشند. در معادله ی بالا چندین دسته جواب وجود دارد که شرایط مسئله را دارند. میخواهیم بدانیم از میان آن همه دسته جواب، کمترین مقدار ممکن برای مجموع مجهول ها چیست. 

راهنمایی - جواب - حل

 

دوستان! به علت آنکه بلاگفا ظرف چند ماه گذشته تغییراتی در سیستم خود بوجود آورده است دیگر این امکان وجود ندارد که مسائل61 ببعد را به صورتی که تا کنون مرسوم این وبلاگ بوده دسته بندی کرد و آنها را در "مسائل هفتگی" بایگانی نمود. البته این باعث تاسف است که مسئولین بلاگفا ملاحظه ی وبلاگهایی را که از قبل این روش بایگانی را بکار برده اند ننموده و قوانین جدید شان را عطف به ماسبق کرده و این امر بر روی این وبلاگ ها اثر نا مطلوب گذاشته است.

عجالتا" برای دسترسی به مسائل 61 ببعد و حل آنها خواهشمندم روی "سر آغاز" کلیک کنید و فهرست مسائل را ملاحظه بفرمایید. در عین حال در این فکر هستم که کلا" وبلاگ را از بلاگفا جدا کرده و به صورت یک وبسایت مستقل در آورم.

(62) یک سگ و دو گوسفند...........................................................

مسئله ی هفته : یک سگ و دو گوسفند

یک سگ و دو گوسفند بوسیله ی کمندهایی که در گردن شان است در علفزاری به زمین میخ شده اند. موقعیت میخ ها در روی زمین طوری است که هر میخ در وسط یک ضلع از سه ضلع یک مثلث کوبیده شده است و مثلث هم تصادفا" راست گوشه در آمده است. طول کمند هر حیوان درست نصف طول ضلعی است که حیوان به وسط آن بسته شده است. 

                                     

هر حیوان بسته به طول کمندی که در گردن اش است میتواند مساحت معینی را بپیماید. اگر چه سگ را برای پاییدن گوسفندها گذاشته اند ولی گوسفندها نمیتوانند وارد حوزه ی تحت اختیار سگ شوند. در این صورت این دو گوسفند مجموعا" چه مساحتی را میتوانند بچرند؟

راهنمایی ــ جواب ــ حل

 

 

(61) دو معمای کارآگاهی

مسئله ی هفته: دو معمای کارآگاهی

 

معمای ساعت وقوع یک جنایت

 

وقتیکه کارآگاه  پلیس در ساعت ده شب به صحنه ی جنایت رسید ابتدا دمای اتاق و دمای بدن مقتول را اندازه گرفت. دمای اتاق 20 درجه و دمای بدن مقتول 27 درجه بود( سلسیوس). یک ساعت بعد که معاینه ها و تحقیقاتش تمام شد باز هر دو دما را اندازه گیری کرد: دمای اتاق تغییری نداشت ولی دمای بدن مقتول 25 درجه شده بود.

 

کارآگاه در ضمن تحقیقاتش متوجه شد که سیستم حرارت مرکزی ساختمان از لحظه ی وقوع جنایت تا آن ساعت که او به آنجا رسیده بود دائما" کار میکرده لذا فرض را بر این گذاشت که در ساعت وقوع جنایت نیز دمای اتاق همان 20 درجه بوده است. نیز میدانیم که دمای بدن انسان 37 درجه است.

 

زحمتی که اینک برای شما داریم این است که بر اساس اطلاعات داده شده، ساعت وقوع قتل را محاسبه کنید.  راهنمایی - جواب - حل    

 

 

 

معمای گوشواره ی خانم منشی

 

کارآگاه پس از یک تحقیق طولانی و خسته کننده وارد دفتر کارش شد تا گزارش خودش را بنویسد. از خانم منشی مکش مرگ مایش درخواست کرد که یک فنجان قهوه برای او بیاورد. خانم منشی همچنانکه داشت قهوه توی فنجان میریخت، گوشواره ی کوچک و ظریفش از لاله ی گوشش جدا شد و یکراست افتاد توی فنجان! با آنکه فنجان مقداری قهوه داشت ولی گوشواره ابدا" خیس نشد. چطور چنین چیزی ممکن است؟  جواب

 

 

مطلب زیر را هم آقای بابک ترابی از ایران برای من فرستاده اند. من که خود سی چهل سال است با اعداد و ارقام انگلیسی و شمارش آنها سر و کار دارم این موضوع را نمیدانستم. شما چطور؟

آیا میدانستید که...

                            

 

 

(60) قرار ملاقات دو مورچه............................................................

مسئله ی هفته: قرار ملاقات دو مورچه 

دو مورچه ای را که در شکل زیر میبینید دلداده ی هم و بیچاره ها ایرانی اند! قراری گذاشته اند تا یکدیگر را ملاقات کنند، دور از چشم اغیار، جایی که " کسی دهان شان را بو نکند مبادا به هم گفته باشند دوستت دارم!"

ببینید میتوانید کوتاه ترین راه و جای امنی را به این دو دلداده نشان دهید و دست شان را در دست هم بگذارید؟ اجرتان با خدا!

                                                       

 

هنوز مرکب ما خشک نشده بود که سید عزیز قبل از همه کوتاه ترین راه را به آنها نشان داد و دست شان را در دست هم گذاشت. از آن پس این دو دلداده همه ی قرارهای شان را در نقطه ای روی همان مسیر میگذاشتند و غالبا" یکدیگر را در میانه های پشت بام جایی دور از چشم این و آن ملاقات میکردند( خوش تر از دوران عشق ایام نیست، بامداد عاشقان را شام نیست. سعدی )

 

خانم مورچه که از این همه بالا رفتن ها و پایین آمدن ها و چسبیدن به دیوار و راه رفتن روی پشت بام آنهم توی آفتاب گرم خسته شده بود کم کم لب به شکایت گشود و از آقا مورچه خواست که بگردد و راه کوتاه تری پیدا کند. آقا مورچه هم که میدانست حساب و کتاب آقا سید حرف ندارد و مو لای درزش نمیرود گفت مطمئن باش که اگر راهی کوتاه تر از این میبود آقا سید حتما" به ما میگفت. دیگه هم خیلی نق نزن و ناشکری نکن که خوبیت نداره. ولی مگر خانم مورچه ول کن بود و کوتاه میومد؟ عاقبت نیز همانطور شد که آقا مورچه گفته بود: خانم مورچه نتیجه ی نا شکری اش را دید.

 

مثل همه ی داستانهای عاشقانه، یکروز سر و کله ی مزاحمی پیدا شد: صاحب ساختمان. مورچه ها آنروز با گوش خودشان شنیدند که صاحب ساختمان دارد با معماری در باره ی ساختن یک طبقه ی دیگر روی سر ساختمان حرف میزند. هنوز یکی دو روز نگذشته بود که سر و کله ی بنا و عمله هم پیدا شد و دیری نگذشت که آن طبقه هم ساخته شد و بلندی ساختمان به نه متر رسید.

 

حالا دوباره نوبت شما است که زحمت بکشید و دو سوال دیگر را جواب بدهید:

 

اولا" ) معلوم کنید که با ساختمان جدید، کوتاه ترین راه بین این دو مورچه چند متر است؟

ثانیا") اگر طول و عرض و بلندی ساختمان را به ترتیب a و b و h فرض کنیم چه نسبتی بین این سه پارامتر باید بر قرار باشد تا مسیر روی زمین(یعنی حاشیه ی دو دیوار) برابر با مسیر روی پشت بام گردد؟

 

(با تشکر از سید عزیز که دو حکم بالا را پیشنهاد نمود)

 حل

مسائل 61 تا 70

مسائل ۶۱ تا ۷۰

۶۱)

۶۲)

 

(59) ساده کردن یک رادیکال مرکب..................................................

فرارسیدن میلاد مسیح را به همه ی دوستان مسیحی تبریک میگویم و برای همه ی آنها در سال نو آرزوی تندرستی و موفقیت دارم. با امید اینکه          رهنمودهای صلح آمیز و بشردوستانه ی مسیح سرمشق رهبران خونریز زمانه ما شود. 

مسئله ی هفته: ساده کردن یک رادیکال مرکب 

رادیکال مرکب زیر را ساده کنید:

                                                                                                                                       

توضیح: رادیکال مرکب رادیکالی است که در درون خود رادیکال های دیگری هم داشته باشد. منظور از ساده کردن یک رادیکال مرکب این است که رادیکال را به صورت یک یا چند رادیکال ساده بنویسیم. رادیکال ساده هم رادیکالی است که در داخل خود فقط یک عدد صحیح داشته باشد.

 

آیا میتوان مسئله ی فوق را عمومیت داد؟ یعنی آیا میتوان رادیکال های مرکب دیگری نوشت که در آن به جای 60 و 3596 از دو عدد دیگر استفاده شده باشد و در عین حال بتوان آنها را ساده هم نمود؟ اگر میتوان، لااقل یک مثال بزنید و اگر نمیتوان (و یا محدودیتی وجود دارد) علت آنرا بیان کنید.                    

 

  حل 

 

                                                                                                     ********************* 

 

عکس زیر را آقای بابک ترابی برای من ایمیل کرده اند: ساعتی که اعداد آن هر کدام ترکیبی از سه عدد 9  است. ایشان منبع آنرا قید نکرده اند ولی کار هر کس هست آدم خوش ذوق و مبتکری است. با تشکر از آقای ترابی.

 

                                                        

(58) یک دوچرخه سوار و سه معما(+)..............................................

مسئله ی هفته: یک دوچرخه سوار و سه معما 

  الف) سرعت متوسط چقدر است؟

یکی از ورزشهای مورد علاقه ی من دوچرخه سواری است. جاده ی شیبدار و بلندی که از کنار خانه ی ما میگذرد و به شهر بعدی میرود دارای شانه هایی است که برای دوچرخه سواری خط کشی شده اند و جای بسیار مناسب و مطمئنی است برای رکاب زدن.

                                             

                                                                                                                

                 

من وقتیکه در طول این جاده دوچرخه سواری میکنم رفت و برگشتم چیزی در حدود سه چهار ساعت میشود و مسافتی را که میپیمایم بستگی به شرایط بدنی ام دارد: روزهایی که بدنم در شکل بهتری است دورتر میروم و اگر بدنم آمادگی زیادی نداشته باشد زودتر به خانه برمیگردم اما چیزی که همیشه ثابت است و تغییر نمیکند سرعت من است: سرعت سنج دوچرخه ام نشان میدهد که من در رفت(سربالایی( با سرعت 7 کیلومتر در ساعت و در بازگشت(سرازیری) با سرعت 42 کیلومتر در ساعت میرانم. متوسط سرعت من کدام یک از گزینه های زیر است؟

 

1) 17.5  کیلومتر در ساعت

2) 24.5  کیلومتر در ساعت

3) 12     کیلومتر در ساعت

4) 10     کیلومتر در ساعت

5) هیچکدام

 

جواب تان حتی وقتی هم که درست باشد باید همراه توضیح باشد تا پذیرفته شود.   جواب

 

 

ب) دوچرخه ای با پنج چرخ!

دوچرخه سواران حرفه ای وقتی مسافتهای بسیار طولانی را میپیمایند معمولا" یک جفت تایر و تیوب اضافی همراه خود میبرند تا اگر تیوبی پنچر شد یا تایری صدمه دید فورا" آنها را عوض کنند و وقت شان را با تعمیر تلف نکنند. دوچرخه سوار معمای ما بیش از حد محتاط است و سه جفت تایر و تیوب اضافی بر ترکبند دوچرخه اش بسته و با خود حمل میکند.

 

                                                           

 

این دوچرخه سوار فاصله ی شیراز تا اهواز را که 560 کیلومتر است رکاب میزند. او به منظور استراحت دادن به تایرهای دوچرخه، به طور متناوب از هر سه تایر اضافی نیز  استفاده میکند و در فواصل معینی از راه آنها را با تایرهای دوچرخه عوض میکند. وقتیکه به اهواز میرسد حساب میکند و میبیند که هر یک از این پنج تایر دقیقا" به یک اندازه رانده شده اند. او در چه نقاطی از جاده و چگونه تعویض ها را انجام داده  است و مسافتی که هر تایر رانده شده  چقدر است؟ ( به منظور هماهنگی در جوابها، لطفا" تایرهای جلو و عقب دوچرخه را A و B  و سه تایر زاپاس را C و D و E نامگذاری نمایید)  جواب

 

 پ)دوچرخه ای با چرخ های کوچک و بزرگ!

فرض کنیم که چرخ های یک دوچرخه به یک اندازه نباشند: مثلا" قطر چرخ جلو  48 سانتیمتر و قطر چرخ عقب 52 سانتیمتر باشد. نیز فرض کنیم که دوچرخه سوار ایستاده باشد و "شیرهای باد"، یعنی شیر هایی که از طریق آنها تایر ها را باد میکنند، هر دو در پایین ترین نقطه، یعنی روی زمین باشند. اینک دوچرخه سوار بر دوچرخه مینشیند و حرکت میکند. او حد اقل چه مسافتی را باید طی کند تا شیر های باد مجددا" و با هم در پایین ترین نقطه قرار بگیرند؟ جواب

 

 

یادداشت: در شروع جنگ ایران و عراق در شهریور 59 من در تعطیلات در شیراز بودم. نه تنها بواسطه ی کار در شرکت نفت باید به اهواز برمیگشتم بلکه به این دلیل که منقضی خدمت 56 هم بودم باید هر چه زودتر خودم را به اهواز میرساندم. به علت نبودن بنزین و گازوئیل، وسائل نقلیه عمومی بین شهری همه خوابیده بودند یا بسیار مشکل گیر می آمدند. من دو راه داشتم: یا باید پیاده برمیگشتم یا با دوچرخه. حساب کرده بودم پیاده اقلا" دوازده روز طول میکشید، با دوچرخه چهار روز. دوچرخه ای خریدم( یک هرکولس 28 نو به قیمت 1200 تومان! ) و در یک صبح زود شنبه که هوا هنوز گرگ و میش بود به راه افتادم. بعد از ظهر سه شنبه پس از 39.5 ساعت رکاب زدن، خیلی خسته و کوفته به اهواز رسیدم. سرعت متوسط من در حدود 14 کیلومتر در ساعت بود. این سه معما را هم همانروز ها سوار بر زین و هنگام "پا زدن" در تپه ماهور ها و راه های کوهستانی آن مسیر ساختم و یادبود آن سفر است. اینهم یکی از ماجراجویی های عهد جوانی ما!  من البته فقط یک جفت تایر تیوب اضافی به همراه خود برده بودم که با کمال تعجب نیازی هم به آن پیدا نکردم. در این معما آنها را کردم سه جفت تا معما کمی پیچیده تر شود.

 

 

(57) بزغاله و چراگاه(+++)

مسئله ی هفته : بزغاله و چراگاه( مقایسه کنید با مسئله ی شماره ی ۵ از مسائل هفتگی)

شگفتعلی خان میگوید که پشت خانه شان مرغزار خوش و خرمی است که هر وقت هوا آفتابی باشد او بزغاله اش را میبرد آنجا که بچرد و خودش هم در سایه ی سیلویی که آنجاست روی یک صندلی راحتی دراز میکشد و کتاب میخواند.

                                                    

یک روز که شگفتعلی خان کمند بزغاله اش را بسته بود به پای سیلو و بزغاله داشت میچرید به این فکر افتاد که حساب کند ببیند بزغاله اش حد اکثر چه مساحتی را میتواند بچرد. بلند شد و یکی دو کمیت را اندازه گیری کرد: دید قطر سیلو چهار متر است و طول کمند بزغاله هم درست نصف محیط سیلو است. سیلو ها هم که میدانید معمولا" به شکل استوانه اند. قلم و کاغذ و یک ماشین حساب برداشت و بعد از مدتی تفکر و حساب و کتاب، جواب سوال خود را پیدا کرد.

حالا زحمتی که برای شما داریم این است که شما هم قلم وکاغذ بردارید و برای ما حساب کنید ببینیم اولا" بزغاله چه مساحتی را میتواند بچرد و ثانیا" محیط قسمت چریده شده چند متر است. شگفتعلی خان توصیه کرده است که شما ابتدا یک تصویر دو بعدی از منظره ی بالا را بکشید و نشان دهید که زمین چریده شده چه شکلی است و بعد وارد محاسبات مربوط به مساحت و محیط آن بشوید. خان میگوید اگر شکل دوبعدی شما درست نباشد بعید است که به جواب درست برسید. پس در کشیدن شکل دقت کنید.

                                            **********************

معمای زیر را آقای جلال معصومی لطف کرده و برای من فرستاده اند تا خدمت دوستان عرضه کنم. ایشان معما را از یک مجموعه ی معماهای انگلیسی به نام  British Riddles  ترجمه وحل کرده اند. با تشکر از این دوست جدید و علاقه مند. معمای ارسالی آقای معصومی در اصل دو سوال از خواننده دارد: سوالهای یک و دو، ولی من فکر کردم دو سوال دیگر هم به آن اضافه کنم.

معمای ساعت باشگاه اندیشمندان

یک روز دو نفر از اعضای باشگاه اندیشمندان وارد باشگاه میشوند و میبینند که ساعت باشگاه ثانیه هایی قبل از ساعت 11:45 متوقف شده است و جالب آنکه عقربه ی ثانیه شمار زاویه ی بین دو عقربه ی دیگر را نصف کرده است.  

                                            

  اینک از شما خواهش میکنیم که این سوالات را پاسخ دهید(دقت تا صدم ثانیه باشد): 

۱) زمان دقیق از کار افتادن ساعت چه بوده است؟

۲) اگر ساعت بکار افتد، دوباره در چه زمانی همین اتفاق رخ میدهد، یعنی عقربه ی ثانیه شمار نیمساز زاویه ی بین دو عقربه ی دیگر میشود؟

۳) قبل از آنکه ساعت از کار افتد، در چه زمانی عقربه ی ثانیه شمار نیمساز زاویه ی بین دو عقربه ی دیگر بوده است؟

۴) بین ساعت 11 تا 12 مجموعا" چند بار این اتفاق افتاده که عقربه ی ثانیه شمار زاویه ی بین دو عقربه ی دیگر را نصف کرده است؟

 حل

 

(56) کره ی مقدس

مسله ی هفته:  یک مسئله، یک معما

  مسئله ی کره ی مقدس

در کره ای توپر، با کمک یک مته سوراخی استوانه ای طوری در می آوریم که نوک تیز مته درست از مرکز کره بگذرد و از آنسوی آن بیرون آید. اگر ارتفاع این سوراخ h باشد چه حجمی از کره باقی میماند؟ یعنی حجم حلقه یا رینگ باقیمانده چقدر است؟

در یک حالت خاص که ارتفاع سوراخ شش واحد است نیز حجم حلقه ی باقیمانده را حساب کنید.                                      

                                                           

توضیح: این مسئله یکی از مسائل کلاسیک و قدیمی ریاضی است که در منابع متعددی میتوان آنرا یافت. در بدو امر به نظر میرسد که چیزی کم دارد ولی باور بفرمایید هیچ چیزی کم ندارد جز همت شما که باید آنرا حل کند!

 

معمای شماره تلفن های درج نشده

شرکت های تلفن معمولا" همه ساله کتابی چاپ میکنند بنام "کتاب تلفن" و آنرا در دسترس مردم قرار میدهند. در این کتاب نام و شماره تلفن(و گاهی هم آدرس) مشترکین دیده میشود. در کانادا و بسیاری از کشورهای دیگر دنیا اگر یک مشترک تلفن نخواهد که نام و شماره  تلفن اش در کتاب تلفن درج شود( بنا به دلائل شخصی، مثل نداشتن دردسر مزاحمین تلفنی و غیره) میتواند با پرداخت مبلغی جزئی در سال، از شرکت تلفن بخواهد که نام و شماره  تلفن او در کتاب تلفن چاپ نشود. اینگونه شماره ها را "درج نشده" یا unlisted میگویند. حتی اپراتورهای شرکت تلفن هم اجازه ندارند شماره های درج نشده را در اختیار کسی بگذارند و فقط صاحبان این شماره ها خود میتوانند شماره ی خویش را در اختیار دوستان خود و هر کس دیگری که مایل باشند قرار دهند.

 در یکی از شهرهای شمالی استان آنتریو در کانادا که جمعیتی در حدود 280000 نفر دارد، بنا به گفته ی شرکت تلفن آن شهر 96000 مشترک تلفن وجود دارد که 6.5 در صد آنها تقاضا کرده اند که نام و شماره تلفن شان در کتاب تلفن درج نشود.

 

یک روز که ما از آن شهر میگذشتیم تا برای دیدن فرزندانمان که در شهر واترلو بودند برویم، در یک قهوه خانه ساعتی توقف کردیم تا استراحتی کرده و خستگی رانندگی را از تن بیرون کنیم. اتفاقا" یک تلفن عمومی و یک کتاب تلفن هم در کنار میز ما بود. در مدتی که قهوه چی مشغول تهیه قهوه بود تا به سر میز ما بیاورد، من بی خیال کتاب تلفن را برداشتم و مشغول ورق زدن آن شدم. با یک احساس بچه گانه کنجکاو شدم بدانم چند نفر نام خانوادگی شان مثل نام خانوادگی خودم با حرف A شروع میشود. اسامی یک ستون را با دقت تمام شمردم، ضرب در تعداد ستون های حرف A کردم، عدد 12400 بدست آمد( خدا آدم پر کار را بیکار نکند! )

 

اینک با اطلاعات و اعداد و ارقام داده شده، بدون استفاده از ماشین حساب، بگویید دقیقا" چند تا از این دوازده هزار و چهارصد نفر،  unlisted بودند؟

 

 

حل

(55) یک تصاعد هندسی

مسئله ی هفته : یک تصاعد هندسی

در یک تصاعد هندسی مجموع ترم ها 11 و مجموع مربعات آنها 341 و مجموع مکعبات شان 3641 است، یعنی اگر ترم های این تصاعد را  a₄ , a_{3 ,} a₂ , a₁ , ... فرض کنیم، آنگاه خواهیم داشت:

                                                                  a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... = 11   

                                                           a₁² + a₂² + a₃² + a₄² + ... = 341  

                                                          a₁³ + a₂³ + a₃³ + a₄³ + ... = 3641      

حاصلضرب ترم ها چقدر است؟     

                                                                                                                                                                                 

 

معمای سن مادر بزرگ

یکی از شبهای نوروز گذشته (سوم فروردین 1386) من و همسرم آماده شده بودیم تا برای عید دیدنی به ملاقات یکی از دوستان و همکلاسی های قدیمی ام برویم. اشتیاق من برای دیدار دو چندان بود زیرا شنیده بودم که پدر و مادر دوستم ــ که از دوران نوجوانی ام آنها را می شناختم ــ یکی دو روز قبل از ایران آمده بودند تا چند ماهی را در کنار فرزندشان و خانواده او بگذرانند. زن و شوهری خوش مشرب، بذله گو، نکته سنج و اهل علم و ادب بودند و مثل همه ی آنهایی که تازه از ایران می آیند بوی خوش ایران را هم به همراه خود آورده بودند و در آن شب عید چون  "نسیمی کز بن آن کاکل آیو"  از کوهپایه های دماوند و دنا و از سبزه زاران دشت های خوشبوی ایران بر ما گذشتند و مشام ما را مشکبو نمودند.

                                  دل بسته ام به باد به بوی شبی که زلف           بگشایی و مشام مرا مشکبو کنی(سایه)

 

جای شما خالی شب خوشی بود و پس از صرف شام و شیرینی تا دیر وقت گفتگو کردیم، از خاطرات گذشته یاد نمودیم و از هر دری سخنی راندیم تا اینکه نزدیکی های نیمه شب گفتگوی ما رسید بر سر سن! اگر چه من معمولا" از این پرسش پرهیز میکنم ولی نمیدانم چه شد که آنشب از مادر دوستم پرسیدم که چند سال دارند. ایشان که ظاهرا" نمیخواستند سن خود را به صراحت بگویند و گویی هنوز طبع مرا از نوجوانی به خاطر داشتند و میخواستند جوابم را مطابق طبع ام بدهند گفتند:"من و پسرم و نوه ام رویهمرفته 142 سال عمر کرده ایم. سن من بر حسب سال و سن نوه ام بر حسب ماه مساوی اند( منظورشان این بود که اگر مثلا" خودشان شصت سال داشته باشند نوه شان شصت ماه دارد )و سن نوه ام بر حسب روز با سن پسرم بر حسب هفته نیز مساوی است( و باز منظورشان این بود که اگر مثلا" نوه شان هزار روز عمر کرده باشد، پسرشان هزار هفته عمر کرده است ).

 

پس از این توضیحات پیچ در پیچ و تو در تو لبخندی به من زدند و پرسیدند که آیا حالا میتوانید سن مرا تعیین کنید؟ من یک تکه دستمال کاغذی برداشتم و روی آن معادله ای نوشتم. بعد مثل نجاری که برای خط کشیدن مدادش را از پشت گوشش برمیدارد،  منهم ماشین حسابم را که همیشه در جیب ام است بیرون آوردم تا حساب کتابم را بکنم. چند دقیقه بعد نه تنها سن ایشان را پیدا کردم بلکه روز تولدشان را هم معلوم نمودم. مادر دوستم با لبخندی دیگر جواب مرا تایید کردند و در حالیکه دستی بر موهای زیبای خویش که رنگ نازکی از حنا سپیدی آنرا پوشانده بود میکشیدند اشاره ای به فرزند و نوه ی خویش و حضور همه ی ما در آن مجلس انس کردند و از زبان خواجه ی شیراز گفتند:

 

                                    هر چند پیر و خسته دل و ناتوان شدم                  هر گه که یاد روی تو کردم جوان شدم

                                    من پیر ماه و سال نی ام یار بیوفاست                  بر من چو عمر میگذرد پیر از آن شــدم

 

من که میخواستم یک قدم دیگر جلوتر بروم و آن بانوی سالخورده راشگفت زده تر کنم  گفتم که من حتا میتوانم بگویم که شما در چه ساعتی از روز به دنیا آمده اید! و وقتیکه ساعت تولدشان را هم گفتم جوابم را با این جمله طنز آلود تایید کردند:" راستش ساعت تولدم را که به یاد ندارم چون وقتی به دنیا آمدم آنقدر از دیدن نور و بستگانم هیجان زده شده بودم که فراموش کردم ساعت را نگاه کنم!"، و بعد مثل اینکه حرفی جدی زده باشند اضافه کردند:"هر چند به ساعت هم که نگاه میکردم آنموقع سواد نداشتم که بتوانم آنرا بخوانم! ولی مثل اینکه شما درست میگویید، مادرم هم میگفت که در همین ساعتی به دنیا آمدم که شما گفتید."

 

حالا ساعت تولد مادر دوستم پیشکش( چون از نظر ریاضی کمی جای گفتگو در آن است ) ولی آیا شما میتوانید سن و روز تولد ایشان را تعیین کنید؟ قلم و کاغذ و یک ماشین حساب بردارید و دست بکار شوید!

 

 

توضیح و راهنمایی: برای پرهیز از سر در گمی و خطا در محاسبات و به منظور هماهنگی بیشتر، اجازه دهید بر سر تبدیلات زیر که دقیقتر از تبدیلاتی هستند که ما معمولا" در زندگی روزمره بکار میبریم توافق کنیم:

 

1) یک سال شمسی 365.25 روز است( به دلیل همین ربع روز در سال است که ما هر چهار سال یکبار سال کبیسه داریم که 366 روز است)

 

2)یک ماه 30.44 روز و یک سال 52.18 هفته است.

 

اگر توانستید جواب معما یعنی سن مادر بزرگ را بدست آورید برای مطمئن شدن از درستی آن میتوانید برعکس عمل کنید، به این ترتیب که بر اساس سن مادر بزرگ، سن نوه و  سن پسر او را محاسبه کنید و ببینید آیا جمع این سه سن 142 میشود یا نه. اگر شد که جواب تان درست است و اگر نشد باید در راه حل خود تجدید نظر کنید. به این ترتیب  الگوریتمی بدست می آید که با استفاده از آن میتوان معادله ی لازم را نوشت و معما را حل کرد.

 

حل

(54) طول وتر چقدر است؟

دوستان گرامی،

با سلامی گرم خدمت یکایک شما عزیزان. آرزو میکنم فصل تابستان و تعطیلات آن به شما و همه ی عزیزان تان خوش گذشته باشد و شما را برای یک سال پر بار دیگر در عرصه های گوناگون کار و زندگی، پر توان و آماده نموده باشد. تحریر وبلاگ را ادامه میدهیم...

                                                            **************

 

مسئله ی هفته :  طول وتر چقدر است؟

دوایر A و B و C به شعاع های  یک و دو و سه ، دو به دو بر هم مماس اند.  PQ وتری است از دایره ی بیرونی که مماس مشترک دوایر درونی نیز میباشد. طول این وتر چقدر است؟ 

 

                                 

در حالت کلی که شعاع ها برابر  r_a  و  r_b  و  r_c  است نیز مسئله را بر رسی کنید و طول وتر PQ  را بر حسب این سه پارامتر بدست آورید.

 

معمای ساعت دیواری زنگ دار

یکی از دوستانم تعریف میکرد که یک ساعت دیواری زنگ دار قدیمی دارد که از پدر بزرگش به ارث برده است. این ساعت در دو هنگام زنگ میزند: یکی در راس هر ساعت و دیگری در نیمه های هر ساعت. در راس هر ساعت به اندازه ی عدد آن ساعت زنگ میزند( مثلا" سر ساعت پنج بعد از ظهر، پنج مرتبه زنگ میزند ) اما در نیمه ی هر ساعت فقط یکبار زنگ میزند( مثلا" در ساعت ده و نیم صبح  فقط یک زنگ میزند )

 

در یکی از تعطیلات آخر هفته، دوستم من و چند تن دیگر از رفقا را به خانه اش دعوت کرده بود تا ساعاتی را به دور از زندگی یکنواخت و خسته کننده روزانه دور هم باشیم و گپی بزنیم و چیزی بنوشیم. من آدم وقت نشناس و بی ملاحظه ای نیستم ولی مثل اینکه آنروز همه زودتر از من به آنجا رسیده بودند و من نفر آخر بودم. وقتی رسیدم شنیدم که ساعت دیواری یک زنگ زد، نیمساعت بعد یک زنگ دیگر زد، نیمساعت دیگر یک زنگ دیگر زد و باز نیمساعت دیگر یک زنگ دیگر زد( یعنی چهار تک زنگ شنیدم )

 

در اینموقع از خود پرسیدم که راستی من در چه ساعتی به خانه ی دوستم رسیدم؟ البته خیلی آسان بود که از ایشان یا از دیگران بپرسم که من چه موقع به آنجا رسیدم شاید یکی از آنها یادش مانده بود. یا دست کم میتوانستم به ساعت مچی ام نگاه کنم و با توجه به تعداد زنگها ساعت ورود خودم را حساب کنم. ولی من که همیشه دوست دارم و کنجکاوم تا از وقایعی که در اطرافم اتفاق می افتد اگر بشود معما یا مسئله ای بسازم و دوستان را سرگرم کنم، آنروز تصمیم گرفتم ببینم آیا میتوانم فقط از روی تعداد زنگها، ساعت دقیق ورودم را معلوم کنم یا نه. ابتدا کمی گیج شدم و به ساعت دیواری شک کردم چون همانطور که خدمت تان گفتم آن ساعت، یک ساعت بسیار قدیمی بود که مثل بسیاری از ساعتهای قدیمی ممکن بود درست کار نکند به همین دلیل از دوستم پرسیدم آیا او مطمئن است که ساعت دیواری درست کار میکند؟ جوابم داد بلی کاملا" مطمئن است که ساعت درست کار میکند و وقت صحیح را نشان میدهد و در مواقع لازم هم به همان اندازه که باید زنگ بزند میزند. با این جواب روشن و قاطع، شک من در مورد درست بودن ساعت از میان رفت و برایم راهی نماند جز آنکه فکر کنم تا ساعت دقیق ورودم را معلوم نمایم.  همین کار را هم کردم و پس از اندکی دقت و مختصری حساب کتاب، ساعت دقیق رسیدنم به خانه ی دوستم را معلوم کردم.

 

راستی من دقیقا" در چه ساعتی به خانه ی دوستم رسیدم؟

 

 حل

(53) دو معمای به ظاهر مثل هم(+ و ++)

 مسئله ی هفته : دو معمای به ظاهر مثل هم (+ و ++)

معمای زیر با نام "پرنده و دو قطار" یکی از معماهای کلاسیک و قدیمی ریاضی است که در منابع مختلف، به صورتهایی چند،  و کم و بیش متفاوت با یکدیگر دیده میشود. صورت زیر نیز روایت من است از این معما با اندکی پرداخت، و غرض از ذکر دوباره آن در اینجا منحصرا" این است که دوستانی که این معما را تا کنون ندیده اند و یا دیده اند و حل نکرده اند تمرینی کنند و دستی گرم نمایند و برای معمای بعدی با نام "پرنده ی عجیب و شتر غریب" که صورتی مشکل تر  از معمای پرنده و دو قطار است آماده شوند.

 

 

معمای پرنده و دو قطار

دو قطار، یکی کندرو با سرعت 40 کیلومتر در ساعت و دیگری تند رو با سرعت 60 کیلومتر در ساعت از دو شهر که فاصله ی مستقیم آنها از یکدیگر 360 کیلومتر است و بوسیله ی راه آهن به هم مربوط شده اند، در یک ساعت معین به سوی هم حرکت میکنند.

 

درست در همین لحظه، عقابی تیز پرواز و خستگی ناپذیر که سرعت پروازش 120 کیلومتر در ساعت است از روی قطار کندرو بلند شده و بسوی قطار تندرو پرواز میکند و چون به آن قطار میرسد بلادرنگ برمیگردد و به سوی قطار اول پرواز میکند و به مجرد رسیدن به این قطار دوباره جهت عوض کرده و به سوی قطار تندرو پرواز میکند.... و این رفت و آمد ها را تا آنجا ادامه میدهد که دو قطار به هم رسیده و از کنار یکدیگر میگذرند.

 

اینک شکلی برای معما روی کاغذ بکشید و این دو سوال را پاسخ دهید:

 

1) وقتیکه پرنده فقط یک رفت و برگشت انجام داده و باز به قطار کندرو رسیده است فاصله ی دو قطار از هم چند کیلومتر است؟

 

2) در لحظه ی عبور قطارها از کنار یکدیگر، پرنده مجموعا" چند کیلومتر پرواز کرده است؟

 

 

 

معمای پرنده ی عجیب و شتر غریب

فاصله ی مستقیم عجیب ده و غریب ده از هم هزار کیلومتر است. پرنده ای از عجیب ده و شتری از غریب ده در یک صبح زود و در یک ساعت معین به سوی هم حرکت میکنند. سرعت پرنده هزار کیلومتر در ساعت و سرعت شتر صد کیلومتر در ساعت است(هر دو شگفت آبادی اند!)

                                                 

پرنده ی عجیب وقتیکه به شتر میرسد از همان بالا تخمی در خورجین شتر می اندازد و بلافاصله به سوی عجیب ده برمیگردد و به مجرد رسیدن به آنجا دوباره به سوی شتر پرواز میکند و به محض رسیدن به آن دوباره تخمی در خورجین شتر رها میکند و باز به سوی عجیب ده برمیگردد....

 

سرتان را درد نیاورم و قصه را کوتاه کنم. پرنده ی عجیب و بازیگوش این رفتن و برگشتن ها و تخم رها کردن ها را تا آنجا ادامه میدهد که شتر به عجیب ده میرسد. حالا دیگر وقت بازیگوشی پرنده تمام شده و موقع تیزهوشی شما رسیده است. لطفا" قلم و کاغذ و یک ماشین حساب بردارید و سوالهای زیر را جواب دهید:

 

 

۱) وقتیکه شتر درست به نیمه راه میرسد چند تخم مرغ در خورجین خود دارد؟

۲) وقتیکه شتر به یک کیلومتری عجیب ده میرسد چند تخم مرغ دارد حمل میکند؟

۳) وقتیکه شتر به عجیب ده میرسد چند تخم در خورجین خود دارد؟

۴) در پایان، پرنده مجموعا" چند کیلومتر پرواز کرده است؟

 

یادداشت: این معما را من با الهام از معمای پرنده و دو قطار ساخته ام ولی از نظر درجه ی سختی چند مرتبه از آن معما مشکل تر است و برای حل آن علاوه بر نازک بینی، دقت در محاسبات ریاضی هم لازم است. اگر موفق به حل کامل آن شدید خوب است روی حالت کلی آن نیز فکر کنید، یعنی زمانی که فاصله ی دو ده و نیز سرعت های دو متحرک، متغیر باشند.  همچنین به امتدادهای دیگر معما هم بیندیشید: مثلا" اگر بجای یک شتر و یک پرنده، دو شتر میداشتیم و یک پرنده با سرعت های مختلف، آنگاه وضع چطور تغییر میکرد، و امتدادهایی نظیر آن. موفق باشید!

 

حل                                                                                                 

(52) یک قوطی نوشابه ی افتاده به پهلو(++)

مسئله ی هفته : یک قوطی نوشابه افتاده به پهلو (++)

یک قوطی (استوانه ای) نوشابه با ابعادی که در شکل ملاحظه میفرمایید روی میز قرار دارد و تا سه چهارم از نوشابه پر و درب آن بسته است.

                                                              

غفلتا" دستی به آن میخورد و از پهلو به روی میز می افتد.

                                                

پس از آنکه نوشابه در قوطی به سکون آمد عمق آن چند سانتیمتر خواهد شد؟ آیا باز هم نوشابه سه چهارم بلندی دایره مقطع را خواهد گرفت؟

حل

 

(51) مخزن چقدر نفت دارد؟(+++)

• مسئله ی هفته : مخزن چقدر نفت دارد؟ 

                     

شکل بالا یک مخزن استوانه ای با مقطع بیضی را نشان میدهد که بصورت افقی بر روی زمین قرار گرفته است. ابعاد مخزن عبارت اند از: قطر بزرگ(2a)، قطر کوچک(2b) و طول مخزن(L). عمق مایع داخل مخزن هم h است. در شکل زیر سطح مقطع این مخزن نشان داده شده است:

  

                                                                     

                                                                     

چگونه میتوان با داشتن ابعاد مخزن و عمق مایع، یعنی با داشتن a  و  b  و  L  و  h  ، حجم مایع درون مخزن را محاسبه نمود؟ فرمولی در ساده ترین شکل ممکن، به صورت ( V = f ( a, b, L, h  استخراج کنیدکه با کمک آن بتوان  این حجم را به دست آورد. آنگاه با استفاده از آن فرمول، برای مخزنی که ابعادش عبارت اند از: 

                                      قطــر بزرگ = ۴/۲ متر

                                      قطر کوچک = ۶/۱ متر

                                      طول مخزن = ۶ متر

حجم مایع داخل آنرا را بر حسب لیتر در دو حالت زیر محاسبه نمایید:

                                      عمق مایع = ۶۰ سانتیمتر

                                      عمق مایع = ۹۰ سانتیمتر

 

 

                                      ******************

 

یادداشت: سالها پیش(اوائل دهه ی شصت) که در کار حفاری چاه های نفت و گاز در خوزستان بودم، یک روز که برای سرکشی و رسیدگی به وضعیت عملیات حفاری یکی از چاه های نفت نزدیک اهواز به محل آن چاه رفته بودم، یکی از کارگران که مسئول نگهداری و تامین سوخت ماشین آلات حفاری بود به نزد من آمد و از من همین سوال را کرد که من در بالا از شما پرسیدم.

 

گفتم مگر تا کنون حجم سوخت موجود در مخازن را چگونه اندازه گیری میکردید؟  جواب داد که آنرا از روی یک لوله ی شیشه ای مدرج میخواندیم که چسبیده به سر جلو یا سر عقب مخزن است و از دو انتهای بالا و پایین خود به شکل ظروف مرتبط ( U-Tube )به مخزن ارتباط دارد. سطح مایع در مخزن هر جا که باشد، در لوله ی شیشه ای مدرج هم همان جا خواهد بود و به راحتی قابل دیدن وخواندن است. لوله ی شیشه ای دو نوع درجه بندی در دو طرف خود دارد: در طرف چپ عمق مایع بر حسب سانتیمتر و در طرف راست حجم مایع بر حسب لیتر قید شده است. به این ترتیب بدون هیچ محاسبه یا زحمتی، در هر لحظه، هم عمق مایع و هم حجم آنرا میتوان خواند. ولی مشکل اینجا است که لوله ی شیشه ای این مخزن در هنگام حمل و نقل شکسته است و  من هر دو مجرای پایین و بالای آنرا مسدود کرده ام تا گازوئیل بیرون نریزد و  اکنون نمیدانم دقیقا" چند لیتر سوخت در مخزن داریم. البته میتوانم از دهانه ی فوقانی مخزن( که از آنجا مخزن را پر میکنیم) و بوسیله ی یک میله که بطور عمودی در مخزن فرو میکنم عمق گازوئیل را معلوم نمایم. حالا سوال من این است که آیا با داشتن این عمق میتوانیم حجم دقیق گازوئیل موجود در مخزن را بدست آوریم؟

 

جواب دادم بلی باید فرمولی وجود داشته باشد  ولی من در آن لحظه نه آن فرمول را میدانستم و نه وقت داشتم که آنرا بدست آورم.  گفتم که تا فردا صبر کند تا من فرمول را برای او پیدا کنم و طرز استفاده از آنرا به او یاد بدهم.

 

آنروز عصر که به شهر برگشتم مستقیما" به کتابخانه رفتم و در چهار پنج جلد کتاب کلکولس که در آنجا بود جستجو کردم و امیدوار بودم که در مبحث مربوط به کاربرد انتگرال ها بتوانم آن فرمول را پیدا کنم. اما جستجوهایم ثمری نداشت. دو سه جلد کتاب هم در خانه داشتم، از آنها هم چیزی دستگیرم نشد. حتی امروز هم که بیش از بیست جلد کتاب محل رجوع روزانه ی من هستند، هیچکدام این مسئله ی مفید و کاربردی را مورد بحث قرار نداده اند. باعث تعجب است.

 

حل

 

 

(50) یک تابع مجهول(++)

مسئله ی هفته: یک تابع مجهول 

تابع  (f(x  را طوری پیدا کنید که در معادله ی زیر صدق کند:

                                        

                                                           ************ 

          

معمای هندوانه ها

 

شگفتعلی خان محصول هندوانه ی مزرعه اش را چیده و در دو سبد بزرگ بر دو طرف الاغ اش گذاشته بود و آنها را به میدان تره بار میبرد که بفروشد. در یکی از کوچه باغهای اطراف مزرعه اش یک همولایتی به او میرسد و پس از احوالپرسی و چاق سلامتی، از خان میپرسد که چند تا هندوانه در سبدهایش دارد. خان که حالا دیگر ریاضیات اش خیلی خوب شده و چپ و راست از هر موضوعی یک مسئله میسازد و مردم را سرگرم میکند در حالیکه به سبد سمت راست تکیه داده بود تا خستگی اش را در کند اشاره به همان سبد کرد و گفت :"اگر از این سبد 19 هندوانه برداری و در آن سبد بگذاری آنوقت آن سبد سه برابر این یکی هندوانه خواهد داشت ولی اگر بر عکس، از آن سبد 21 هندوانه برداری و در این سبد قراردهی آنگاه این سبد سه برابر آن یکی هندوانه خواهد داشت."

 

همولایتی هر چه کله اش را خاراند و فکر کرد نتوانست معمای شگفتعلی خان را حل کند. او میدید که سبد ها هر دو مثل هم پر از هندوانه و از دو طرف الاغ به صورتی کاملا" متعادل آویزان هستند پس به این ترتیب آنها ظاهرا"بایستی به یک اندازه هندوانه در خود داشته باشند ولی همولایتی اینقدر حساب بلد بود که با اطلاعاتی که شگفتعلی خان به او داده بود بداند که چنین نیست و سبد ها نمیتوانند به یک اندازه هندوانه داشته باشند و تعادل آنها احتمالا" بخاطر کوچک و بزرگ بودن هندوانه ها است و یا اینکه خان ممکن است وسائل کار و بقچه ی ناهارش را هم در کف سبدی که کمتر هندوانه دارد جا داده باشد. با اینهمه برایش مشکل بود که معما را حل کند.

 

آیا شما میتوانید به همولایتی کمک کنید و معلوم سازید که شگفتعلی خان در هر سبد چند هندوانه داشت؟

 

  حل                                               

                         

(49)مساحت یک مثلث(+++)

مسئله ی هفته : یک مسئله(+++)، یک معما 

مساحت یک مثلث

نقاط M و  N  را در روی دو ضلع یک مثلث انتخاب کرده و آنها را به رئوس مقابل وصل میکنیم. مساحت های سه مثلث کوچکتری که به این ترتیب بدست میایند معلوم است. مساحت مثلث اصلی چقدر است؟

                                          

توضیح: خطوط  GM و  FN  هیچیک از خطوط معروف در مثلث نیستند، یعنی آنها نه نیمسازند نه میانه نه ارتفاع و نه عمود منصف. شکل نیز به مقیاس کشیده نشده است.

  

معمای مرغهای شگفت آبادی

مرغ ها در شگفت آباد، پناه بر خدا "اعشاری" تخم میگذارند!

 

        یک و نیم مرغ در مدت دو و نیم روز ، سه و نیم تخم میگذارند.

 

شگفتعلی خان حساب کرده و دیده است که مصرف تخم مرغ سالیانه اش 1022 دانه است، یعنی روزانه تقریبا" سه تخم مرغ میخورد. او که لابد نگران چربی خون اش نیست و طبع بالایی هم دارد و تخم مرغ های ماشینی به مزاج اش نمیسازد، میخواهد بداند که چند مرغ باید در خانه اش نگهداری کند تا مصرف سالیانه تخم مرغ اش بی هیچ درد سری تامین شود. شما زحمت بکشید و تعداد مرغ ها را برای او تعیین کنید. فکر خروس های لازم را هم شگفتعلی خان خودش میکند، شما نگران نباشید!

حل