(64) مساحت یک مثلث راستگوشه..................................................

مسئله ی هفته: مساحت یک مثلث راستگوشه 

طول های دو نیمساز زوایای تنگ یک مثلث راستگوشه داده شده اند:

                                          

اندازه ی دقیق مساحت مثلث را به دست آورید. منظور از اندازه ی دقیق همانطور که قبلا" هم گفته شده است اندازه ی بدون اعشاری است. بنابراین جوابی که با روش ترسیمی و به کمک کامپیوتر بدست آید هر چند مورد تقدیر است ولی مورد نظر نیست.

من عجالتا" دو راه حل مختلف مثلثاتی برای مسئله دارم که یکی از آنها از خودم است، بنابراین خیلی مایل به دیدن یک راه حل هندسی زیبا و کوتاه هستم.

راهنمایی - جواب - حل

برای دیدن مسائل ۶۱ به بعد لطفا" روی سر آغاز کلیک کنید.

(63)حل

حل مسئله ی شماره ی ۶۳

این راه حل را هم آقای جلال معصومی لطف کرده و فرستاده اند. آقای معصومی بعضی از مقادیر ممکن برای پارامترهای پنجگانه را هم به دست آورده اند ولی این مقادیر البته در صورت مسئله خواسته نشده بود. مسئله فقط حداقل مقدار مجموع پارامترها را خواسته است.با تشکر از آقای معصومی:

 

(63) راهنمایی

عدد 99 را به صورت حاصلضرب پنج فاکتور بنویسید و فاکتورهای منفی را هم منظور بدارید.

(63) جواب

کمینه ی (A+B+C+D+E )میشود 443

(63) یک معادله و پنج مجهول.........................................................

مسئله ی هفته: یک معادله و پنج مجهول

در معادله ی زیر، A و B و C و D و E اعدادی صحیح، مثبت و متفاوت با یکدیگر هستند:

                 99 = (A - 94)(B - 95)(C - 96)(D - 97)(E - 98)

کوچکترین مقدار مجموع آنها، یعنی کوچکترین مقدار ( A+B+C+D+E ) چقدر است؟

جواب هایی که با استفاده از برنامه های کامپیوتری بدست آیند البته معتبر وقابل قبول اند ولی نظر ما بیشتر بر روی راه حل تحلیلی مسئله است.

 

توضیح: یک معادله و چند مجهول بینهایت جواب دارد ولی وقتی محدودیتی بر مجهول ها اعمال شود تعداد جواب ها کمتر میگردد ولی ممکن است معادله همچنان خیلی جواب داشته باشد که قابل قبول باشند. در معادله ی بالا چندین دسته جواب وجود دارد که شرایط مسئله را دارند. میخواهیم بدانیم از میان آن همه دسته جواب، کمترین مقدار ممکن برای مجموع مجهول ها چیست. 

راهنمایی - جواب - حل

 

دوستان! به علت آنکه بلاگفا ظرف چند ماه گذشته تغییراتی در سیستم خود بوجود آورده است دیگر این امکان وجود ندارد که مسائل61 ببعد را به صورتی که تا کنون مرسوم این وبلاگ بوده دسته بندی کرد و آنها را در "مسائل هفتگی" بایگانی نمود. البته این باعث تاسف است که مسئولین بلاگفا ملاحظه ی وبلاگهایی را که از قبل این روش بایگانی را بکار برده اند ننموده و قوانین جدید شان را عطف به ماسبق کرده و این امر بر روی این وبلاگ ها اثر نا مطلوب گذاشته است.

عجالتا" برای دسترسی به مسائل 61 ببعد و حل آنها خواهشمندم روی "سر آغاز" کلیک کنید و فهرست مسائل را ملاحظه بفرمایید. در عین حال در این فکر هستم که کلا" وبلاگ را از بلاگفا جدا کرده و به صورت یک وبسایت مستقل در آورم.

(62) یک سگ و دو گوسفند...........................................................

مسئله ی هفته : یک سگ و دو گوسفند

یک سگ و دو گوسفند بوسیله ی کمندهایی که در گردن شان است در علفزاری به زمین میخ شده اند. موقعیت میخ ها در روی زمین طوری است که هر میخ در وسط یک ضلع از سه ضلع یک مثلث کوبیده شده است و مثلث هم تصادفا" راست گوشه در آمده است. طول کمند هر حیوان درست نصف طول ضلعی است که حیوان به وسط آن بسته شده است. 

                                     

هر حیوان بسته به طول کمندی که در گردن اش است میتواند مساحت معینی را بپیماید. اگر چه سگ را برای پاییدن گوسفندها گذاشته اند ولی گوسفندها نمیتوانند وارد حوزه ی تحت اختیار سگ شوند. در این صورت این دو گوسفند مجموعا" چه مساحتی را میتوانند بچرند؟

راهنمایی ــ جواب ــ حل

 

 

(62) حل

حل مسئله ی شماره ی ۶۲

زیباترین و در عین حال ساده ترین راه حل این مسئله استفاده از قضیه ی فیساغورس است لیکن اجازه دهید قبلا" توضیح کوتاهی در باره این قضیه بدهم.

غالبا" این طور است که دبیران ریاضی(تقریبا" در همه جا) وقتیکه میخواهند قضیه ی فیساغورس را در مقطع پایین دبیرستان درس بدهند نخست شکل یک مثلث راستگوشه را با اضلاع معلوم(معمولا" ۳ و ۴ و ۵ )میکشند و بر روی سه ضلع آن سه مربع بنا میکنند و آنگاه این مربع ها را به مربع های کوچکتری با مساحت واحد تقسیم میکنند و بعد با شمارش نشان میدهند که مجموع مربع های واحدی که روی دو ضلع زاویه ی قائمه بوجود می آید برابر است با تعداد مربع های واحد در روی وتر. اگر هم دانش آموزی کنجکاو شود و بپرسد که چنانچه اضلاع مثلث اعدادی اعشاری باشند آنگاه با "خرده مربع ها" ی موجود چه میکنیم و چگونه درستی قضیه را در این حالت نیز ثابت مینماییم، معلم بر حسب سلیقه خود و سطح درک دانش آموزان، یکی دو روش استدلالی از صدها روشی که برای اثبات این قضیه در طول قرون گذشته کشف شده است بیان می دارد و همه را قانع میکند.  

کمتر دیده ام که به امتدادهای این قضیه پرداخت شده باشد، امتدادهای جالبی که مشاهده و مطالعه ی آنها نه تنها دانش آموزان را به عمق بیشتری در این قضیه ی مهم میبرد بلکه کاربرد های زیبای آن( منجمله مسئله ی این هفته ی ما )را نیز بیشتر به آنها مینمایاند.

آیا هیچوقت فکر کرده اید که اگر بر روی سه ضلع یک مثلث راستگوشه بجای ساختن سه مربع، سه مثلث متساوی الاضلاع یا سه پنج ضلعی منتظم یا سه شش ضلعی منتظم و یا حتی سه دایره بکشیم چه میشود؟  به شکل های زیر نگاه کنید، در تمام این شکل ها یک فرمول همواره صادق است: فرمول فیساغورس          

                                                                            A₁ + A₂ = A₃    

 

 

 

 

حتی میتوانیم بر روی سه ضلع یک مثلث راستگوشه سه نیمدایره یا سه ربع دایره یا حتی سه قطاع هم درجه بنا کنیم. برای تمام این حالت ها نیز فرمول فوق صادق است. مثلا" وقتیکه سه نیمدایره داریم شکل به این صورت خواهد شد:

 

حال تصور کنید که در شکل فوق نیمدایره ای را که بر وتر و در زیر آن ساخته شده  است، ۱۸۰ درجه دوران داده و آنرا به بالای وتر منتقل کنیم. این کار هیچ گونه تغییری در اصل موضوع یعنی قضیه فیساغورس نمیدهد ولی با کمال رضایت مندی شکلی را بوجود می آورد که ما در اینجا طالب آنیم:

آقای معصومی هم در نظر شماره ی نهم(در بخش نظرها)به اختصار اشاره به راه حل فوق کرده اند. با اینهمه ایشان راه حل دیگری هم داده اند که با استفاده از مساحت قطاع صورت میگیرد و دوستان دیگر هم در بخش نظرها قبلا" گفته اند. در زیر، کارهایی را که به دست من رسیده اند و در تفهیم بیشتر موضوع میتوانند مفید باشند به نظر گرامی تان میرسانم:

راه حل آقای جلال معصومی( با تشکر از این دوست عزیز):

دوست ارجمند ما سید هم در شکلهای زیبای زیر نقطه نظرات شان را بیان کرده اند. باتشکر فراوان.

 

 

 خسته نباشید سید جان!

(62) راهنمایی

از قضیه ی فیساغورس استفاده کنید به این ترتیب که روی هر ضلع از یک مثلث راستگوشه یک نیمدایره بسازید: میدانیم که مساحت نیمدایره ی روی وتر برابر است با مجموع مساحت های دو نیمدایره ی دیگر.

(62) جواب

کل مساحتی که دو گوسفند میتوانند بچرند بدون اینکه سگ مزاحم شان باشد برابر است با مساحت مثلثی که در شکل دیده میشود( یعنی مثلث راستگوشه ای که میخ ها در وسط اضلاعش کوبیده شده اند)

حل(61) پ

حل معمای ساعت وقوع یک جنایت

 این هم راه حل آقای جلال معصومی است. با تشکر از این دوست عزیز.

 

حل(61) ب

جواب معمای ساعت وقوع یک جنایت:

 

جنایت در ساعت ۷ و ۲۲ دقیقه ی بعد از ظهر همان روز اتفاق افتاده است.

 

حل(61) الف

 راهنمایی در مورد :معمای ساعت وقوع یک جنایت

این معما را من از کتاب ریاضی کلاس دوازده که در اینجا تدریس میکنم برگرفته ام. در این کتاب، معما در مبحث مربوط به رشد و کاهش نمایی(Exponential Growth and Decay ) مطرح شده است و نظر مولفین کتاب این بوده که دانش آموزان یک مدل ریاضی مناسب برای معما انتخاب کنند و بر اساس آن مدل، معما را حل نمایند. بنابراین بسته به آنکه چه نوع مدلی انتخاب شود راه حل و طبعا" جواب نهایی فرق میکند.

 

ساده ترین مدلی که به ذهن میرسد مدل خطی است که بگوییم در یکساعت دما دو درجه کاهش یافته پس چند ساعت طول کشیده تا دما از 37 درجه به 27 درجه رسیده است. جوابی که به این ترتیب بدست می آید را نمیتوان گفت غلط است اما میتوان گفت که ممکن است با واقعیت همخوانی نداشته باشد و دارای خطا باشد.

 

یکی از مدل هایی که انتقال گرما و افزایش یا کاهش دما را خیلی خوب نشان میدهد و با واقعیت نزدیک است مدلی است که نیوتون پیشنهاد میکند و به نام خود او معروف است( Newton’s Law of Cooling ). نیوتون میگوید که آهنگ افزایش یا کاهش دمای یک جسم در یک محیط، نسبت مستقیم دارد با اختلاف دمای آن جسم و محیط اطراف، یعنی هر چه این اختلاف دما زیادتر باشد سرعت افزایش یا کاهش دمای جسم هم زیادتر است. به این ترتیب میتوان یک معادله ی دیفرانسیل نوشت که با حل آن دمای نخستین بدست آید.

 

حل(61) ت

جواب معمای گوشواره ی خانم منشی: قهوه ی توی فنجان از نوع قهوه فوری بوده که خشک است. خانم منشی هنوز آب جوش در فنجان نریخته بود که گوشواره اش در آن میافتد.