(55) یک تصاعد هندسی

مسئله ی هفته : یک تصاعد هندسی

در یک تصاعد هندسی مجموع ترم ها 11 و مجموع مربعات آنها 341 و مجموع مکعبات شان 3641 است، یعنی اگر ترم های این تصاعد را  a₄ , a_{3 ,} a₂ , a₁ , ... فرض کنیم، آنگاه خواهیم داشت:

                                                                  a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... = 11   

                                                           a₁² + a₂² + a₃² + a₄² + ... = 341  

                                                          a₁³ + a₂³ + a₃³ + a₄³ + ... = 3641      

حاصلضرب ترم ها چقدر است؟     

                                                                                                                                                                                 

 

معمای سن مادر بزرگ

یکی از شبهای نوروز گذشته (سوم فروردین 1386) من و همسرم آماده شده بودیم تا برای عید دیدنی به ملاقات یکی از دوستان و همکلاسی های قدیمی ام برویم. اشتیاق من برای دیدار دو چندان بود زیرا شنیده بودم که پدر و مادر دوستم ــ که از دوران نوجوانی ام آنها را می شناختم ــ یکی دو روز قبل از ایران آمده بودند تا چند ماهی را در کنار فرزندشان و خانواده او بگذرانند. زن و شوهری خوش مشرب، بذله گو، نکته سنج و اهل علم و ادب بودند و مثل همه ی آنهایی که تازه از ایران می آیند بوی خوش ایران را هم به همراه خود آورده بودند و در آن شب عید چون  "نسیمی کز بن آن کاکل آیو"  از کوهپایه های دماوند و دنا و از سبزه زاران دشت های خوشبوی ایران بر ما گذشتند و مشام ما را مشکبو نمودند.

                                  دل بسته ام به باد به بوی شبی که زلف           بگشایی و مشام مرا مشکبو کنی(سایه)

 

جای شما خالی شب خوشی بود و پس از صرف شام و شیرینی تا دیر وقت گفتگو کردیم، از خاطرات گذشته یاد نمودیم و از هر دری سخنی راندیم تا اینکه نزدیکی های نیمه شب گفتگوی ما رسید بر سر سن! اگر چه من معمولا" از این پرسش پرهیز میکنم ولی نمیدانم چه شد که آنشب از مادر دوستم پرسیدم که چند سال دارند. ایشان که ظاهرا" نمیخواستند سن خود را به صراحت بگویند و گویی هنوز طبع مرا از نوجوانی به خاطر داشتند و میخواستند جوابم را مطابق طبع ام بدهند گفتند:"من و پسرم و نوه ام رویهمرفته 142 سال عمر کرده ایم. سن من بر حسب سال و سن نوه ام بر حسب ماه مساوی اند( منظورشان این بود که اگر مثلا" خودشان شصت سال داشته باشند نوه شان شصت ماه دارد )و سن نوه ام بر حسب روز با سن پسرم بر حسب هفته نیز مساوی است( و باز منظورشان این بود که اگر مثلا" نوه شان هزار روز عمر کرده باشد، پسرشان هزار هفته عمر کرده است ).

 

پس از این توضیحات پیچ در پیچ و تو در تو لبخندی به من زدند و پرسیدند که آیا حالا میتوانید سن مرا تعیین کنید؟ من یک تکه دستمال کاغذی برداشتم و روی آن معادله ای نوشتم. بعد مثل نجاری که برای خط کشیدن مدادش را از پشت گوشش برمیدارد،  منهم ماشین حسابم را که همیشه در جیب ام است بیرون آوردم تا حساب کتابم را بکنم. چند دقیقه بعد نه تنها سن ایشان را پیدا کردم بلکه روز تولدشان را هم معلوم نمودم. مادر دوستم با لبخندی دیگر جواب مرا تایید کردند و در حالیکه دستی بر موهای زیبای خویش که رنگ نازکی از حنا سپیدی آنرا پوشانده بود میکشیدند اشاره ای به فرزند و نوه ی خویش و حضور همه ی ما در آن مجلس انس کردند و از زبان خواجه ی شیراز گفتند:

 

                                    هر چند پیر و خسته دل و ناتوان شدم                  هر گه که یاد روی تو کردم جوان شدم

                                    من پیر ماه و سال نی ام یار بیوفاست                  بر من چو عمر میگذرد پیر از آن شــدم

 

من که میخواستم یک قدم دیگر جلوتر بروم و آن بانوی سالخورده راشگفت زده تر کنم  گفتم که من حتا میتوانم بگویم که شما در چه ساعتی از روز به دنیا آمده اید! و وقتیکه ساعت تولدشان را هم گفتم جوابم را با این جمله طنز آلود تایید کردند:" راستش ساعت تولدم را که به یاد ندارم چون وقتی به دنیا آمدم آنقدر از دیدن نور و بستگانم هیجان زده شده بودم که فراموش کردم ساعت را نگاه کنم!"، و بعد مثل اینکه حرفی جدی زده باشند اضافه کردند:"هر چند به ساعت هم که نگاه میکردم آنموقع سواد نداشتم که بتوانم آنرا بخوانم! ولی مثل اینکه شما درست میگویید، مادرم هم میگفت که در همین ساعتی به دنیا آمدم که شما گفتید."

 

حالا ساعت تولد مادر دوستم پیشکش( چون از نظر ریاضی کمی جای گفتگو در آن است ) ولی آیا شما میتوانید سن و روز تولد ایشان را تعیین کنید؟ قلم و کاغذ و یک ماشین حساب بردارید و دست بکار شوید!

 

 

توضیح و راهنمایی: برای پرهیز از سر در گمی و خطا در محاسبات و به منظور هماهنگی بیشتر، اجازه دهید بر سر تبدیلات زیر که دقیقتر از تبدیلاتی هستند که ما معمولا" در زندگی روزمره بکار میبریم توافق کنیم:

 

1) یک سال شمسی 365.25 روز است( به دلیل همین ربع روز در سال است که ما هر چهار سال یکبار سال کبیسه داریم که 366 روز است)

 

2)یک ماه 30.44 روز و یک سال 52.18 هفته است.

 

اگر توانستید جواب معما یعنی سن مادر بزرگ را بدست آورید برای مطمئن شدن از درستی آن میتوانید برعکس عمل کنید، به این ترتیب که بر اساس سن مادر بزرگ، سن نوه و  سن پسر او را محاسبه کنید و ببینید آیا جمع این سه سن 142 میشود یا نه. اگر شد که جواب تان درست است و اگر نشد باید در راه حل خود تجدید نظر کنید. به این ترتیب  الگوریتمی بدست می آید که با استفاده از آن میتوان معادله ی لازم را نوشت و معما را حل کرد.

 

حل

حل (54)

حل مسئله ی ۵۴  و معمای ساعت دیواری زنگ دار

راه حل هندسی

  یادداشت.  بعد از اعلام حل، چند نفر پرسیده اند که چرا  DF را برابر 2 گرفته ایم. فکر کردم چون ساده است آنرا به عهده ی خواننده بگذارم ولی مثل اینکه توضیح کوچکی لارم دارد: از طریق تشابه مثلثهای  DNA و   DMB بسادگی   DF=2   بدست می آید.

 

راه حل تحلیلی

 

 حل معمای ساعت دیواری زنگ دار

من دقیقا" چند لحظه پس از ساعت دوازده(ظهر) به خانه ی دوستم رسیدم( عرض کردم که آدم وقت شناس و دقیقی هستم! ). وقتی دوستم در را باز کرد من آخرین زنگ از دوازده زنگ ساعت دوازده را شنیدم. سه تک زنگ دیگر هم مربوط بودند به ساعت دوازده و نیم، ساعت یک و ساعت یک ونیم.

 

البته یک راه حل دیگر هم برای این معما وجود دارد به این شرح که میتوان گفت من سر ساعت دوازده و نیم بعد از نیمه شب از آخرین روز تابستان به خانه ی دوستم رسیدم(معلوم میشود شب زنده داری بوده!) و به این ترتیب تک زنگ آن ساعت را شنیدم، بعد هم تک زنگ ساعت یک بامداد و پس از آن تک زنگ ساعت یک ونیم. در این موقع بدون آنکه من متوجه بشوم دوستم ساعت را یکساعت به عقب کشیده(به مناسبت پایان تابستان) و مجددا"به لحظاتی بعد از ساعت دوازده و نیم برده است. پس من بعدا" تک زنگ چهارم را هم در ساعت یک مجدد شنیده بودم. با این حساب ممکن بود که من تک زنگ پنجم را هم در ساعت یک و نیم مجدد بشنوم که میتوانست به ابهام معما کمی بیفزاید.